《2025年小题狂做高中数学必修第一册苏教版》

10.计算:$4^{-\frac{1}{2}}+(\frac{1}{3})^0-\lg5-\lg2=$$\frac{1}{2}$.

答案： 10 $\frac{1}{2}4^{-\frac{2}{3}}+(\frac{1}{3})-\lg5-\lg2=2^{-1}+1-\lg(5 × 2)=\frac{1}{2}+1-\lg10=\frac{1}{2}+1-1=\frac{1}{2}$.

11.已知x＞0,y＞0,若$-1≤\lg\frac{x}{y}≤2,1≤\lg x≤4$,则$\lg\frac{x^2}{y}$的取值范围是$[0,6]$.

答案： 11 $[0,6]$ 由$x＞0,y＞0$，可知$\frac{x}{y}＞0$，则$\lg\frac{x^2}{y}=\lg(\frac{x}{y} · x)=\lg\frac{x}{y}+\lg x \in [0,6]$，所以$\lg\frac{x^2}{y}$的取值范围是$[0,6]$.

12.若$2^x=3^y=4^z=a$,且$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=2$,则实数a=9.

答案： 12 9 因为$2^x=3^y=4^z=a$，所以$x=\log_2a,y=\log_3a,z=\log_4a$.又$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}+\frac{1}{\log_3a}+\frac{1}{\log_4a}=\frac{1}{2}+\log_a3+\log_a4=\frac{1}{2}+\log_a(3 × 4)=\frac{1}{2}+\log_a12=\frac{1}{2}$，由换底公式得$2\log_22+\log_3a-\log_44=\frac{1}{2}$，则$\log_a(2^2 × 3 ÷ 4)=\frac{1}{2}$，即$\log_a3=\frac{1}{2}$，解得$a=9$.

13. [2025江苏徐州期中](1)计算:$(2\frac{1}{4})^{0.5}-0.75^2+6^{-2}×(\frac{8}{27})^{-\frac{1}{3}}$;
(2)已知$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=3$,求$\frac{a^3+a^{-3}+3}{a+a^{-1}-2}$的值.

答案： 13 解：
(1)原式=$[(\frac{3}{2})^2]^{0.5}-(\frac{3}{4})^2+\frac{1}{36} × [(\frac{2}{3})^{-1}]^{-\frac{1}{3}}=(\frac{3}{2})^{2 × 0.5}-(\frac{3}{4})^2+\frac{1}{36} × (\frac{2}{3})^{-1 × (-\frac{1}{3})}=\frac{3}{2}-\frac{9}{16}+\frac{1}{36} × \frac{3}{2}=\frac{3}{2}-\frac{9}{16}+\frac{1}{36} × \frac{3}{2}=\frac{47}{48}$.
(2)由$a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=3$，得$a+a^{-1}=(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}})^2-2=7$，则$a^2+a^{-2}=(a+a^{-1})^2-2=47,a^3+a^{-3}=(a+a^{-1})(a^2-1+a^{-2})=7 × 46=322$，即$\frac{a^3+a^{-3}+3}{a+a^{-1}-2}=\frac{322+3}{7-2}=65$.

14.近年来,我国在航天领域取得了巨大成就,得益于我国先进的运载火箭技术.据了解,在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下,可以用公式$v=v_0\ln\frac{M}{m}$计算火箭的最大速度v(单位:m/s).其中$v_0$(单位:m/s)是喷流相对速度,m(单位:kg)是火箭(除推进剂外)的质量,M(单位:kg)是推进剂与火箭质量的总和,$\frac{M}{m}$称为“总质比”,已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s.(参考数据:$\ln230≈5.4,1.648＜e^{0.5}＜1.649$)
(1)当总质比为230时,利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度;
(2)经过材料更新和技术改进后,A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍,总质比变为原来的$\frac{1}{3}$,若要使火箭的最大速度增加500m/s,记在材料更新和技术改进前的总质比为T,求不小于T的最小整数.

答案： 14 解：
(1)当总质比为$230$时，$v=2000\ln230 \approx 2000 × 5.4=10800$，即A型火箭的最大速度为$10800m/s$.
(2)因为A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的$1.5$倍，所以A型火箭的喷流相对速度为$2000 × 1.5=3000m/s$，总质比为$\frac{M}{3m}$.由题意得$3000\ln\frac{M}{3m}-2000\ln\frac{M}{m} \geq 500$，所以$\ln\frac{M}{27m} \geq 0.5$，所以$\frac{M}{27m} \geq e^{0.5}$，即$\frac{M}{m} \geq 27e^{0.5}$.因为$1.648＜e^{0.5}＜1.649$，所以$44.496＜27e^{0.5}＜44.523$，即$44.496＜T＜44.523$，所以不小于T的最小整数为$45$.

[2024 全国甲卷理，15]已知 $a ＞ 1$ 且 $\frac{1}{\log_{8}a} - \frac{1}{\log_{a}4} = - \frac{5}{2}$，则 $a =$64.

答案： 真题小练
64 由题得$\frac {1}{\log_{2}{a}} - \frac {1}{\log_{4}{4}} = \frac {3}{\log_{2}{a}} - \frac {1}{2} \log_{2}{a} = - \frac {5}{2}，$整理得$(\log_{2}{a})^2 - 5\log_{2}{a} - 6 = 0，$解得$\log_{2}{a} = -1$或$\log_{2}{a} = 6。$又a ＞ 1，所以$\log_{2}{a} = 6 = \log_{2}{2^6}，$故$a = 2^6 = 64。$