《2025年小题狂做高中数学必修第一册苏教版》

1.[2025 河北石家庄月考]纯洁的冰雪，充满激情的盛会，2030 年冬奥会预计在法国阿尔卑斯山地区举行.按常理，该次冬奥会共有 7 个大项，如冰球、冰壶、滑冰、滑雪、雪车等；一个大项又包含多个小项，如滑冰又分为花样滑冰、短道速滑、速度滑冰三个小项.若集合 U 代表所有项目的集合，一个大项看作几个小项组成的集合，其中集合 A 为滑冰三个小项构成的集合，下列说法不正确的是 (C)

A.“短道速滑”不属于集合 A 相对于全集 U 的补集
B.“雪车”与“滑雪”的交集为空集
C.“速度滑冰”与“冰壶”的交集不为空集
D.集合 U 包含“滑冰”

答案： 1. C 选项A，因为集合 A 为滑冰三个小项构成的集合，其中包含了短道速滑，所以短道速滑属于集合 A，不属于集合 A 相对于全集 U 的补集，故 A 正确；选项 B，因为“雪车”与“滑雪”是不同的大项，所以交集为空集，故 B 正确；选项 C，因为“水壶”“滑冰”是不同的大项，交集为空集，“速度滑冰”

2.柯西不等式(Cauchy-Schwarz Inequality)是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geqslant(ac + bd)^{2}$，当且仅当$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$时，等号成立.根据柯西不等式可以得知函数$f(x)=3\sqrt{4 - 3x}+\sqrt{3x - 2}$的最大值为 ()

$A.2\sqrt{5}$
$B.2\sqrt{3}$
C.12
D.20

答案： A

3.[多选题，2025 江苏南通中学期中]下列命题正确的是 ()

A.“$x\geqslant|y|$”是“$x^{2}\geqslant y^{2}$”的充要条件
B.“$x^{2}=1$”是“$x = - 1$”的必要且不充分条件
C.若集合$P = \{x\mid x = 2k,k\in\mathbf{Z}\}$，$Q = \{x\mid x = 4k,k\in\mathbf{Z}\}$，则$P\subseteq Q$
D.对任意$x\in\mathbf{R}$，$[x]$表示不大于$x$的最大整数，例如$[1.1]=1$，$[-1.1]= - 2$，那么“$|x - y|\lt1$”是“$[x]=[y]$”的必要且不充分条件

答案： BD

4.[多选题，2025 湖南长沙期末]对于给定的实数$a$，关于实数$x$的不等式$a(x - a)(ax + a)\geqslant0$的解集不可能为 ()

A.$\mathbf{R}$
B.$\{x\mid a\leqslant x\leqslant - 1\}$
C.$\{x\mid x\leqslant a或x\geqslant - 1\}$
D.$\varnothing$

答案： BD

5.计算：$e^{\ln4}+\log_{\sqrt{5}}25+\lg100+\lg2·\lg50+(\lg5)^{2}=$.

答案： 11

6.若两个正实数$x,y$满足$\frac{1}{x}+\frac{4x}{y^{2}}=2$，且不等式$x+\frac{y^{2}}{4x}\lt m^{2}-m$有解，则实数$m$的取值范围是.

答案： $(-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$