《2025年小题狂做高中数学必修第一册苏教版》

9.不等式x² - bx + c ＜ 0的解集为(x₀, x₀ + 2)，则 (AC)

A.b² = 4c + 4
B.若1 - b + c ＞ 0，则x₀² ＜ 1
C.若x₀ ＞ 0，则cx² - bx + 1 ＜ 0的解集为$(\frac{1}{x₀ + 2}, \frac{1}{x₀})$
D.b + c有最小值为$ - \frac{9}{4}$

答案： 9. AC 由题意可知方程$x^{2}-bx + c = 0$的两根分别为$x_{0}$，$x_{0}+2$，则$\begin{cases}x_{0}+x_{0}+2=2x_{0}+2=b\\x_{0}(x_{0}+2)=c\end{cases}$，对于A，$\mid(x_{0}+2)-x_{0}\mid=\sqrt{(2x_{0}+2)^{2}-4x_{0}(x_{0}+2)}=\sqrt{b^{2}-4c}=2$，整理得$b^{2}=4c + 4$，故A正确；对于B，例如$x_{0}=2$，则$\begin{cases}b = 6\\c = 8\end{cases}$，满足$1 - b + c = 1 - 6 + 8 = 3＞0$，而$x_{0}^{2}=4＞1$，故B错误；对于C，若$x_{0}＞0$，则$x_{0}+2＞x_{0}＞0$，不等式$cx^{2}-bx + 1＜0$，即$x_{0}(x_{0}+2)x^{2}-(2x_{0}+2)x + 1＜0$，整理得$(x_{0}x - 1)[(x_{0}+2)x - 1]＜0$，令$(x_{0}x - 1)[(x_{0}+2)x - 1]=0$，解得$x=\frac{1}{x_{0}}$或$x=\frac{1}{x_{0}+2}$，且$x_{0}+2＞0$，$\frac{1}{x_{0}}＞\frac{1}{x_{0}+2}$，所以$cx^{2}-bx + 1＜0$的解集为$(\frac{1}{x_{0}+2},\frac{1}{x_{0}})$，故C正确；对于D，因为$b + c=(2x_{0}+2)+x_{0}(x_{0}+2)=(x_{0}+2)^{2}-2\geqslant-2$，当$x_{0}=-2$时，$b + c$取得最小值，最小值为$-2$，故D错误.

10.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，售价b元的取值范围是(90,100).

答案： 10. (90,100) 设每个涨价$a$元，则涨价后的利润与原利润之差为$(10 + a)(400 - 20a)-10×400=-20a^{2}+200a$. 要使商家利润有所增加，则必须使$-20a^{2}+200a＞0$，即$a^{2}-10a＜0$，解得$0＜a＜10$. 所以$90＜b＜100$.

11.若函数$f(x) = \frac{kx + 5}{kx² + 4kx + 4}$的定义域是R，则实数k的取值范围是[0,1).

答案： 11. [0,1) 因为函数$f(x)=\frac{kx + 5}{kx^{2}+4kx + 4}$的定义域为$\mathbf{R}$，所以$kx^{2}+4kx + 4\neq0$在$\mathbf{R}$上恒成立. 当$k = 0$时，$4\neq0$，符合题意；当$k\neq0$时，$\Delta=16k^{2}-16k＜0$，解得$0＜k＜1$. 综上，实数$k$的取值范围是$[0,1)$.

12.(创新·数学阅读)在解决问题“已知正实数x，y满足$x + \frac{2}{x} + 3y + \frac{4}{y} = 10，$求xy的取值范围”时，可通过重新组合，利用基本不等式构造关于xy的不等式，从而解不等式求范围.具体解答如下：
由$10 = (x + \frac{4}{y}) + (\frac{2}{x} + 3y) ≥ 2\sqrt{(x + \frac{4}{y})(\frac{2}{x} + 3y)} = 2\sqrt{3xy + \frac{8}{xy} + 14}，$得3(xy)² - 11xy + 8 ≤ 0，即(xy - 1)(3xy - 8) ≤ 0，解得xy的取值范围是$[1, \frac{8}{3}].$
请参考上述方法，求解以下问题：
已知正实数x，y满足$x + \frac{2}{x} + 3y + \frac{4}{y} = 10，$

则

$\frac{x}{y}$的取值范围是$[\frac{3}{4},2]$.

答案： 12. $[\frac{3}{4},2]$ 因为$x＞0,y＞0$，所以$10=(x + 3y)+(\frac{2}{x}+\frac{4}{y})\geqslant2\sqrt{(x + 3y)(\frac{2}{x}+\frac{4}{y})}=2\sqrt{\frac{6y}{x}+\frac{4x}{y}+14}$，得$4(\frac{x}{y})^{2}-11\frac{x}{y}+6\leqslant0$，即$(\frac{x}{y}-2)(\frac{4x}{y}-3)\leqslant0$，解得$\frac{3}{4}\leqslant\frac{x}{y}\leqslant2$，所以$\frac{x}{y}$的取值范围是$[\frac{3}{4},2]$.

13.某工厂以x kg/h的速度生产运输某种药剂(生产条件要求边生产边运输，且3 ＜ x ≤ 10)，每小时可以获得的利润为$100(2x + 1 + \frac{8}{x - 2})$元.
(1)要使生产运输该药品3 h获得的利润不低于4500元，求x的取值范围.
(2)当x为何值时，每小时获得的利润最少？最少利润是多少？

答案： 13. 解：
(1)依题意得$3×100(2x + 1+\frac{8}{x - 2})\geqslant4500$，即$2x + 1+\frac{8}{x - 2}\geqslant15$. 又$3＜x\leqslant10$，所以$x - 2＞0$，可得$x^{2}-9x + 18\geqslant0$，即$(x - 3)(x - 6)\geqslant0$，解得$x\leqslant3$或$x\geqslant6$，所以$x$的取值范围是$[6,10]$.
(2)设每小时获得的利润为$y$.
$y = 100(2x + 1+\frac{8}{x - 2})=100[2(x - 2)+\frac{8}{x - 2}+5]\geqslant100[2\sqrt{2(x - 2)·\frac{8}{x - 2}}+5]=100(8 + 5)=1300$，当且仅当$2(x - 2)=\frac{8}{x - 2}$，即$x = 4$时取等号.
所以当生产运输速度为$4 kg/h$时，每小时获得的利润最少，最少利润为$1300$元.