《2025年小题狂做高中数学必修第一册苏教版》

1. 函数$f(x)=x^2+9/(1+$|x|) (B)

A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数

答案： 1. B 由$1 + |x| \neq 0$，可得$x \in \mathbf{R}$.又$f(-x) = (-x)^2 + \frac{9}{1 + |-x|} = x^2 + \frac{9}{1 + |x|} = f(x)$，所以$f(x)$为偶函数.

2. 已知偶函数f(x)在区间[1,3]上单调递增且存在最大值M,则函数f(x)在区间[-3,-1]上 (C)

A.单调递增且最大值为M
B.单调递增且最小值为-M
C.单调递减且最大值为M
D.单调递减且最小值为-M

答案： 2. C 因为$f(x)$为偶函数，所以$f(x)$的图象关于$y$轴对称.又$f(x)$在区间$[1,3]$上单调递增且存在最大值$M$，所以$f(x)$在$[-3,-1]$上单调递减且存在最大值$M$.

3. 已知函数$f(x)=ax^3+bx+1,$若f(3)=7,则f(-3)= (A)

A.-5
B.-3
C.3
D.5

答案： 3. A 函数$f(x) = ax^3 + bx + 1$的定义域为$\mathbf{R}$，令$g(x) = f(x) - 1 = ax^3 + bx$，定义域为$\mathbf{R}$，$g(-x) = a(-x)^3 + b(-x) = -(ax^3 + bx) = -g(x)$，即函数$g(x)$是奇函数.于是$g(-3) + g(3) = 0$，即$f(-3) - 1 + f(3) - 1 = 0$，则$f(-3) + 7 - 2 = 0$，所以$f(-3) = -5$.

4. 已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,下列说法错误的是 (C)

A.在R上,|f(x)|=|f(-x)|
B.在R上$,[f(x)]^3+[f(-x)]^3=0$
C.存在$x_0∈R,f(x_0)+f(-x_0)≠0$
D.存在$x_1,x_2∈R,f(x_1^3)+f(x_2^3)=0$

答案： 4. C 因为函数$f(x)$为定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，所以对于任意$x \in \mathbf{R}$，$f(-x) = -f(x)$，即$f(-x) + f(x) = 0$，所以$|f(-x)| = |-f(x)| = |f(x)|$，$[f(x)]^3 + [f(-x)]^3 = [f(x)]^3 + [-f(x)]^3 = [f(x)]^3 - [f(x)]^3 = 0$，$f(x^3) + f[(-x)^3] = f(x^3) + f(-x^3) = f(x^3) - f(x^3) = 0$，所以A，B，D正确，C错误.

5. 已知函数f(x),g(x)的图象如图所示,

则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是 (A)

答案： 5. A 由图象知函数$f(x)$是偶函数，函数$g(x)$是奇函数，故$y = f(x) · g(x)$是奇函数，且在$x = 0$处没有意义.

6. 已知偶函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，当$x\in[0,+\infty)$时，$f(x)=\frac{2 - x}{x + 1}$，则$f(x - 1)\lt1$的解集为（ ）
A. $(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$
B. $(-\infty,\frac{1}{2})$
C. $(\frac{3}{2},+\infty)$
D. $(-\infty,\frac{1}{2})\cup(\frac{3}{2},+\infty)$

答案： 6. D 因为$f(x) = \frac{2 - x}{x + 1} = \frac{-(x + 1) + 3}{x + 1} = -1 + \frac{3}{x + 1}$，所以$f(x)$在$[0, +\infty)$上单调递减.又$f(x)$为偶函数，$f(\frac{1}{2}) = 1$，由$f(x - 1) ＜ 1$，得$f(|x - 1|) ＜ f(\frac{1}{2})$，所以$|x - 1| ＞ \frac{1}{2}$，解得$x ＜ \frac{1}{2}$或$x ＞ \frac{3}{2}$，所以$f(x - 1) ＜ 1$的解集为$(-\infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{3}{2}, +\infty)$.
方法总结 根据偶函数的单调性求解不等式$f(x_1) ＜ f(x_2)$，常利用偶函数的性质将不等式$f(x_1) ＜ f(x_2)$转化为$f(|x_1|) ＜ f(|x_2|)$，从而利用函数$f(x)$在$[0, +\infty)$上的单调性来脱去“$f$”进行解题，这样可以避免分类讨论.

7. 设函数f(x)对任意x∈R均满足f(-x)=f(x),且对任意不相等的两数a,b∈[0,+∞),恒有$\frac{f(a)-f(b)}{a-b}＜0$,则下列说法正确的是 (AD)

A.f(-3)＜f(2)＜f(-1)
B.f(x)在[0,+∞)上是增函数
C.f(-3)＞f(2)＞f(-1)
D.f(x)在R上是偶函数

答案： 7. AD 因为$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，关于原点对称，且满足$f(-x) = f(x)$，所以$f(x)$在$\mathbf{R}$上是偶函数，故D正确；因为对任意不相等的$a,b \in [0, +\infty)$，均有$\frac{f(a) - f(b)}{a - b} ＜ 0$，所以$f(x)$在$[0, +\infty)$上是减函数，故B错误；因为$f(-x) = f(x)$，所以$f(-1) = f(1)$，$f(-3) = f(3)$，因为$f(x)$在$[0, +\infty)$上是减函数，所以$f(3) ＜ f(2) ＜ f(1)$，故$f(-3) ＜ f(2) ＜ f(-1)$成立，故A正确，C错误.