《2025年小题狂做高中数学必修第一册苏教版》

1. 已知 $3^{m}=$=2，则 m log₄3 =（）

A. $\frac{1}{2}$
B.2
C. $-\frac{1}{2}$
D.-2

答案： 1. A 因为$ 3^{m}=2，$所以$ m=\log_{3}2，$故$ m\log_{4}3=\log_{3}2·\log_{4}3=\log_{3}2·\frac{\log_{2}3}{\log_{2}4}=\frac{1}{2}.$

2. 若$\log_{a}x = 2$，$\log_{b}x = 3$，$\log_{c}x = 6$，则$\log_{abc}x$的值为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： $2. A \frac{\log_{abc}x}{\log_{abc}}=\frac{\frac{1}{\log_{x}abc}}{1}=\frac{1}{\log_{x}a + \log_{x}b + \log_{x}c}$
$\frac{1}{\log_{a}x}+\frac{1}{\log_{b}x}+\frac{1}{\log_{c}x}=\frac{1}{\frac{1}{\lg a}·\lg x}+·s（$原式推导第二步似乎有误，按正确对数换底推导应为$）\log_{x}a+\log_{x}b+\log_{x}c = \frac{1}{\lg x}(\lg a+\lg b+\lg c)=\frac{\lg(abc)}{\lg x}=\frac{1}{\log_{abc}x} $的倒数相关推导，原解答直接给出结果为1，从$\frac{1}{\log_{x}a+\log_{x}b+\log_{x}c}，$若x = abc则结果为1，这里按原答案1呈现
$\frac{1}{\log_{a}x}+\frac{1}{\log_{b}x}+\frac{1}{\log_{c}x}=\log_{x}a+\log_{x}b+\log_{x}c，$当x = abc时，$\log_{abc}abc = 1$
$\frac{1}{\log_{a}x}+\frac{1}{\log_{b}x}+\frac{1}{\log_{c}x}，$令x = abc，$\log_{a}abc=\lg(abc)/\lg a，$·s，整体计算后结果为1
$\frac{1}{\log_{a}x}+\frac{1}{\log_{b}x}+\frac{1}{\log_{c}x}，$根据对数性质计算结果为1。

3. 若$10^{m}=x$，$10^{n}=y$，则$\frac{\ln\sqrt{x}}{\ln 10}-\frac{2(\ln y-\ln 10)}{\ln 10}$的值为（ ）
A. $\frac{1}{2}m - 2n - 2$
B. $\frac{1}{2}m - 2n - 1$
C. $\frac{1}{2}m - 2n + 1$
D. $\frac{1}{2}m - 2n + 2$

答案： 3. D 因为$ 10^{m}=x，$$10^{n}=y，$所以$ \lg x = m，$$\lg y = n，$所以
$\frac{\ln\sqrt{x}}{\ln10}-2(\frac{\ln y - \ln10}{\ln10})=\frac{\frac{1}{2}\lg x}{1}-2(\lg y - 1)=\frac{1}{2}\lg x - 2\lg y + 2=\frac{1}{2}m - 2n + 2.$

4. 历史上数学计算方面的三大发明分别是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明大大缩短了计算时间，为人类进行科学研究和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势. 已知 lg2 ≈ 0.301，lg5 ≈ 0.699，则$ 2.5^1051 $的估算值为（）
$A. 10^418$
$B. 10^119$
$C. 10^420$
$D. 10^421$

答案： 4. A 因为$ \lg2.5^{1051}=1051\lg2.5 = 1051(\lg5 - \lg2)\approx$
$1051×(0.699 - 0.301)=418.298\approx418，$所以$ 2.5^{1051}\approx$
$10^{418}.$

5. 已知$4^{a}=20$，$5^{b}=30$，$6^{c}=42$，则（ ）
A.a ＞ b ＞ c
B.b ＞ a ＞ c
C.a ＞ c ＞ b
D.c ＞ a ＞ b

答案： 5. A 由$ 4^{a}=20，$$5^{b}=30，$$6^{c}=42，$得$ a=\log_{4}20 = 1+\log_{4}5，$
$b=\log_{5}30 = 1+\log_{5}6，$$c=\log_{6}42 = 1+\log_{6}7. $因为$\frac{\log_{4}5}{\log_{5}6}=\frac{\frac{\lg5}{\lg4}}{\frac{\lg6}{\lg5}}=\frac{\lg5}{\lg4}·\frac{\lg5}{\lg6}＞\frac{(\lg5)^{2}}{\lg4×\lg6}＞\frac{(\lg5)^{2}}{(\frac{\lg4 + \lg6}{2})^{2}}$
$=\frac{(2\lg5)^{2}}{(\lg24)^{2}}=\frac{(\lg25)^{2}}{(\lg24)^{2}}＞1，$所以$ \log_{4}5＞\log_{5}6，$所以 a ＞ b. 又$\frac{\log_{5}6}{\log_{6}7}=\frac{\frac{\lg6}{\lg5}}{\frac{\lg7}{\lg6}}=\frac{\lg6}{\lg7}·\frac{\lg6}{\lg5}＞\frac{(\lg6)^{2}}{\lg5×\lg7}＞\frac{(\lg6)^{2}}{(\frac{\lg5 + \lg7}{2})^{2}}=\frac{(2\lg6)^{2}}{(\lg35)^{2}}=\frac{(\lg36)^{2}}{(\lg35)^{2}}＞1，$
所以$ \log_{5}6＞\log_{6}7，$所以 b ＞ c. 综上所述，a ＞ b ＞ c.

6. (数学文化情境) 形如$ 2^2n + 1(n $是非负整数) 的数称为费马数，记为 Fₙ. 数学家费马根据 F₀，F₁，F₂，F₃，F₄ 都是质数，提出了猜想：费马数都是质数. 1732 年，欧拉算出 F₅ = 641 × 6 700 417，也就是说 F₅ 不是质数，宣布了费马的这个猜想不成立，它不能作为一个求质数的公式. 后来人们又陆续找到不少反例. 如 F₆ = 274 177 × 67 280 421 310 721 不是质数，则 F₆ 的位数为 (参考数据：lg2 ≈ 0.301 0)（）

A.21
B.20
C.19
D.18

答案： 6. B 由题知$ 2^{2^{64}}+1 = 274177×67280421310721，$所以
$\log_{2}2^{2^{64}}=\log_{2}(274177×67280421310721 - 1)，$故 274177×
$67280421310721 = 10^{64\lg2}+1\approx10^{19.264}+1，$B正确.

7. 若$\log_{5}\frac{1}{3}·\log_{3}6·\log_{6}x = 2$，则（ ）
A. $ x = \frac{1}{25} $
B.x = 25
C. $ \log_{x}5 = \frac{1}{2} $
D. $ \log_{x}5 = -\frac{1}{2} $

答案： $7. AD \frac{\log_{\frac{1}{3}}5·\log_{6}5·\log_{6}x}{-\lg3/\lg5·\lg6/\lg3·\lg x/\lg6}=-\frac{\lg3}{\lg5}·\frac{\lg6}{\lg3}·\frac{\lg x}{\lg6}=2，$所
以$ \lg x=-2\lg5，$所以$ x = 5^{-2}=\frac{1}{25}，$故 A正确，B错误；
$\log_{\frac{1}{5}}5=\frac{\log_{5}5}{\log_{5}\frac{1}{5}}=\frac{1}{-1}=-\frac{1}{2}，$故 C错误，D正确.

8. 已知$2^{a}=3^{b}=6$，则$a$，$b$满足（ ）
A. $ a=\log_{2}6 $
B.a ＜ b
C. $ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}＜1 $
D.a + b ＞ 4

答案： 8. AD 对于选项 A，由$ 2^{a}=6，$得$ a=\log_{2}6，$故 A正确. 对于
选项 B，由$ 3^{b}=6，$得$ b=\log_{3}6. $因为$ a=\log_{2}6＞\log_{2}4 = 2，$b=
$\log_{3}6$＜\log_{3}9 = 2，所以 a ＞ b，故 B错误. 对于选项 C，因为
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{\log_{6}2}+\frac{1}{\log_{6}3}=\log_{6}2+\log_{6}3 = 1，$故 C错误. 对于
选项 D，因为$ a\neq b，$所以由基本不等式得，a + b=(a +
$b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}＞4，$故 D正确.

9. 已知正实数 a，b 满足 b^a = 4，且 a + log₂b = 3，则 a + b 的值可以为（）

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： 9. CD 因为$ b^{a}=4，$所以$ \log_{b}4 = a，$所以$ a+\log_{2}b=\log_{b}4 +$
$\log_{2}b = 2\log_{b}2+\log_{2}b = 3. $设$ \log_{2}b = x，$则$ \log_{b}2=\frac{1}{x}，$即
$\frac{2}{x}+x = 3，$解得 x = 1或 2. 当 x = 1时，$\log_{2}b = 1，$则 b = 2，
$a=\log_{b}4 = 2，$故 a + b = 4；当 x = 2时，$\log_{2}b = 2，$则 b = 4，
$a=\log_{4}1，$故 a + b = 5.

10. 数学家欧拉曾得到这样的结论：小于数字 x 的素数个数可以表示为 π(x) ≈ x/ln x. 根据欧拉得出的结论，可估计$ 10^5 $以内的素数的个数为8686(注：素数即质数，lg e ≈ 0.434 3).

答案： $10. 8686 \frac{\pi(10^{5})}{\ln10^{5}}\approx\frac{10^{5}}{5\ln10}=\frac{2×10^{4}}{\ln10}\approx2×10^{4}×0.4343 = 8686.$