《2025年小题狂做高中数学必修第一册苏教版》

10. 函数$ y=(1/2)^{−x^2−4x} $的减区间是$(-\infty,-2)$.

答案： 10. $(-\infty,-2)$ 令$t = -x^2 - 4x = -(x + 2)^2 + 4$，则函数$t$的增区间是$(-\infty,-2)$.而函数$y = (\frac{1}{2})^t$在$\mathbf{R}$上单调递减，故函数$y = (\frac{1}{2})^{-x^2 - 4x}$的减区间是$(-\infty,-2)$.
方法总结 求复合函数的单调性及单调区间的基本步骤：
(1)将复合函数转化为基本初等函数的复合形式，并求得函数的定义域；
(2)分别判断每个基本初等函数的单调性及单调区间；
(3)利用“同增异减”的原则来得到复合函数的单调性及单调区间.

11. 若函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l} a^{x}+3,\ \ \ \ \ x＞1,\\ 4ax - x^{2},x\leqslant1\end{array}\right. $在 R 上单调递增,则实数 a 的取值范围是$(1,\frac{4}{3}]$.

答案： 11. $(1,\frac{4}{3}]$ 因为函数$y = f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增，所以$\begin{cases}a ＞ 1,\\2a\geq1,\\a + 3\geq4a - 1,\end{cases}$解得$1 ＜ a\leq\frac{4}{3}$，所以实数$a$的取值范围是$(1,\frac{4}{3}]$.

12. 已知 f(x)=2^x,若对任意的 x1∈[m,n],存在唯一的 x2∈[m,n],使得 f(x1)⋅f(x2)=1,则 m+n 的值为0.

答案： 12. 0 因为函数$f(x)$为$\mathbf{R}$上的增函数，且$f(x_1)· f(x_2)=2^{x_1}·2^{x_2}=2^{x_1 + x_2}=1$，所以$x_1 + x_2 = 0$，即$x_2 = -x_1$.由题意，对任意的$x_1\in[m,n]$，存在唯一的$x_2\in[m,n]$，使得$f(x_1)· f(x_2)=1$，即$x_1 + x_2 = 0$，所以区间$[m,n]$关于原点对称，则$m + n = 0$.

13. 已知函数$f(x)=\frac{2a^{x}-4+a}{2a^{x}+a}$(a＞0,且 a≠1)是定义在 R 上的奇函数.
(1) 求 a 的值;
(2) 求函数 f(x)的值域;
(3) 当 x∈(1,2)时,$2 + mf(x) - 2^{x} ＞ 0$ 恒成立,求实数 m 的取值范围.

答案： 13. 解：
(1)因为$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，所以$f(0)=\frac{2a^0 - 4 + a}{2a^0 + a}=\frac{a - 2}{a + 2}=0$，解得$a = 2$.当$a = 2$时，$f(x)=\frac{2^x - 1}{2^x + 1}$，此时$f(-x)=\frac{2^{-x} - 1}{2^{-x} + 1}=\frac{1 - 2^x}{1 + 2^x}=-f(x)$，所以$f(x)=\frac{2^x - 1}{2^x + 1}$是奇函数，$a = 2$.
(2)由
(1)可得$f(x)=\frac{2^x - 1}{2^x + 1}=1-\frac{2}{2^x + 1}$.因为$2^x ＞ 0$，所以$2^x + 1 ＞ 1$，所以$0 ＜ \frac{1}{2^x + 1} ＜ 1$，所以$-2 ＜ 1 - \frac{2}{2^x + 1} ＜ 1$，所以$-1 ＜ 1 - \frac{2}{2^x + 1} ＜ 1$，所以函数$f(x)$的值域为$(-1,1)$.
(3)由$2 + mf(x) - 2 ＞ 0$可得$mf(x) ＞ 2^x - 2$，即$m·\frac{2^x - 1}{2^x + 1} ＞ 2^x - 2$，可得$m ＞ \frac{(2^x - 2)(2^x + 1)}{2^x - 1}$对于$x\in(1,2)$恒成立.令$2^x - 1 = t\in(1,3)$，则$m ＞ \frac{(t - 1)(t + 2)}{t}=t - \frac{2}{t} + 1$.函数$y = t - \frac{2}{t} + 1$在区间$(1,3)$上单调递增，所以$t - \frac{2}{t} + 1 ＜ 3 - \frac{2}{3} + 1 = \frac{10}{3}$，所以$m\geq\frac{10}{3}$，所以实数$m$的取值范围是$[\frac{10}{3},+\infty)$.
方法总结 1.根据函数的奇偶性求参数的取值，可用两种方法.
(1)定义法：由$f(-x)=-f(x)$（或$f(-x)=f(x)$）在定义域内恒成立，从而求得参数的值.
(2)特值法：由$f(-x)=-f(x)$（或$f(-x)=f(x)$）在定义域内恒成立，将$x$取特殊的值来得到相应的等式求得参数的值，然后再检验所求得的参数的值是否满足条件.
2.对于不等式在某个范围内恒成立，求参数的取值范围的问题，若能很方便地分离出参数，一般应用分离参数的方法，将参数分离出来后求不含有参数的函数的最值（或值域）.

已知函数 $ y = a^{x}(a ＞ 0 $ 且 $ a \neq 1) $ 在区间 $[1,2]$ 上的最大值与最小值之和为 $ 20 $，记 $ f(x)=\frac{a^{x}}{a^{x}+2} $。
(1) 求 $ a $ 的值，并证明：$ f(x)+f(1 - x)=1 $；
(2) 求 $ f(\frac{1}{2024})+f(\frac{2}{2024})+f(\frac{3}{2024})+·s +f(\frac{2023}{2024}) $ 的值.

答案： 解：
(1)因为$y = a^x$为单调函数，所以函数在$[1,2]$上的最大值与最小值之和为$a^2 + a = 20$，解得$a = 4$或$a = -5$.又$a ＞ 0$且$a \neq 1$，所以$a = 4$，所以$f(x)=\frac{4^x}{4^x + 2}$，则$f(1 - x)=\frac{4^{1 - x}}{4^{1 - x} + 2}=\frac{4}{4 + 2×4^x}=\frac{2}{2 + 4^x}$，故$f(x)+f(1 - x)=\frac{4^x}{4^x + 2}+\frac{2}{2 + 4^x}=1$，得证.
(2)因为$f(x)+f(1 - x)=1$.设$s = f(\frac{1}{2024})+f(\frac{2}{2024})+f(\frac{3}{2024})+·s + f(\frac{2023}{2024})$，同时$s = f(\frac{2023}{2024})+f(\frac{2022}{2024})+f(\frac{2021}{2024})+·s + f(\frac{1}{2024})$，所以$2s = 1×2023 = 2023$，所以$s = \frac{2023}{2}$.