《2025年小题狂做高中数学必修第一册苏教版》

8. 一元二次方程 ax²+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分且不必要条件是
(BD)

A.a＜0
B.a＜−1
C.a＜1
D.a＜−2

答案： 8 BD 因为一元二次方程$ax^2+2x+1=0(a\neq0)$有一正根和一负根，所以$\begin{cases}\Delta=4-4a＞0,\frac{1}{a}＜0,\end{cases} $解得a＜0.对照选项知B，D符合题意.

9. 已知集合 A={x∣x²+x−6=0},B={x∣mx+1=0},则 B 是 A 的真子集的充分且必要条件可以是
(AD)

A.m∈{−1/2,1/3}
B.m∈{1/2}
C.m∈{0,−1/2,1/3}
D.m∈{0,1/3}

答案： 9 AD 集合$A=\{x\mid x^2+x-6=0\}=\{-3,2\}，$若集合B是集合A的真子集，当m=0时，集合$B=\varnothing，$显然成立；当$m\neq0$时，则$-\frac{1}{m}=-3$或$-\frac{1}{m}=2，$所以$m=\frac{1}{3}$或$m=-\frac{1}{2}.$若集合B是集合A的真子集，则$m\in\left\{0,-\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right\}，$所以B是A的真子集的充分且不必要条件可以是$m\in\left\{-\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right\}$或$m\in\left(0,\frac{1}{3}\right\$}.
方法总结 求条件p的必要且不充分条件q，或求条件p的充分且不必要条件q的一般方法是：
(1)先求出条件p的充要条件s；
(2)根据充要条件s来求它的必要且不充分条件(或充分且不必要条件)，其中求p的充分且不必要条件时，只需求s的一个真子集即可；求p的必要且不充分条件时，只需s是q的真子集即可.

10. 在判断定理中,条件是结论的充分条件.

答案： 10 充分 定理都是由条件推出结论成立的，故条件是结论的充分条件.

11. 设 n∈N∗,一元二次方程 x²−4x+n=0 有整数根的充要条件是 n=3或4.

答案： 11 3或4 由$\Delta=16-4n\geq0，$得$n\leq4.$又$n\in\mathbf{N}^*，$则n=1，2,3,4.当n=1或n=2时，方程没有整数根；当n=3时，方程有整数根x=1或x=3；当n=4时，方程有整数根x=2.

12. 已知 p:−7⩽x⩽9,q:1−m⩽x⩽1+m.
(1) 若 p 是 q 的必要且不充分条件,则实数 m 的取值范围是{m∣m＜8};
(2) 若 p 是 q 的充要条件,则实数 m 的取值范围是8.

答案： 12
(1)\{$m\mid m$＜8\}
(2)8 设集合A=\{x\mid -7\leq x\leq9\}，集合B=\{x\mid 1-m\leq x\leq1+m\}.
(1)若p是q的必要且不充分条件，则B\subsetneqq A.①当B=\varnothing时，1-m＞1+m，此时m＜0；②当$B\neq\varnothing$时，$1-m\geq-7，$且1-m=-7和1+m=9不能同时成立，解得$0\leq m＜8.$故m＜8.
(2)因为p是q的充要条件，所以A=B，所以$\begin{cases}1-m=-7,\\1+m=9,\end{cases} $解得m=8.
方法总结 设条件p，q所对应的变量的范围分别为集合A，B，若p是q的充分且不必要条件，则$A\subsetneqq B；$若p是q的充要条件，则A=B.

13. 已知命题 α:1⩽x⩽2,命题 β:1⩽x⩽a.
(1) 若 α 是 β 的必要且不充分条件,求实数 a 的取值范围;
(2) 求证:“a⩾2”是“α⇒β”的充要条件.

答案： 13
(1)解：设$A=\{x\mid 1\leq x\leq2\}，$$B=\{x\mid 1\leq x\leq a\}，$若a是$\beta$的必要且不充分条件，则B是A的真子集.当$B=\varnothing$时，a＜1，此时满足B是A的真子集，符合题意；当$B\neq\varnothing$时，若B是A的真子集，则$\begin{cases}a\geq1,\\a＜2,\end{cases} $解得$1\leq a＜2.$综上所述，实数a的取值范围是$\{a\mid a＜2\}.$
(2)证明：充分性(若$a\geq2，$则$\alpha\Rightarrow\beta)$：若$a\geq2，$则$\{x\mid 1\leq x\leq2\}\subseteq\{x\mid 1\leq x\leq a\}，$所以由命题$\alpha$：$1\leq x\leq2$可得出命题$\beta$：$1\leq x\leq a，$故充分性成立.必要性(若$\alpha\Rightarrow\beta，$则$a\geq2)$：若命题$\alpha$：$1\leq x\leq2$可得出命题$\beta$：$1\leq x\leq a，$则$\{x\mid 1\leq x\leq2\}\subseteq\{x\mid 1\leq x\leq a\}，$所以$a\geq2，$故必要性成立.综上所述，$“a\geq2”$是$“\alpha\Rightarrow\beta”$的充要条件.

设 a,b,c 分别为△ABC 的三边 BC,AC,AB 的长,求证:关于 x 的方程 x²+2ax+b²=0 与 x²+2cx−b²=0 有公共实数根的充要条件是∠A=90°.

答案： [探究拓展] 证明：必要性：设方程$x^2+2ax+b^2=0$与$x^2+2cx-b^2=0$有公共实数根$x_0，$则$x_0^2+2ax_0+b^2=0，$$x_0^2+2cx_0-b^2=0，$两式相减并整理得$(a-c)x_0+b^2=0.$因为$b\neq0，$所以$a-c\neq0，$所以$x_0=\frac{b^2}{c-a}，$将此式代入$x_0^2+2ax_0+b^2=0$中，可得$b^2+c^2=a^2，$故$\angle A=90°.$
充分性：因为$\angle A=90°，$所以$b^2+c^2=a^2，$即$b^2=a^2-c^2.$将①代入方程$x^2+2ax+b^2=0$中，可得$x^2+2ax+a^2-c^2=0，$即(x+a-c)(x+a+c)=0.将①代入方程$x^2+2cx-b^2=0$中，可得$x^2+2cx+c^2-a^2=0，$即(x+c-a)(x+c+a)=0.故两方程有公共实数根x=-(a+c).所以关于x的方程$x^2+2ax+b^2=0$与$x^2+2cx-b^2=0$有公共实数根的充要条件是$\angle A=90°.$