《2025年小题狂做高中数学必修第一册苏教版》

1. [2025浙江嘉兴月考]设a＞0,下列选项正确的是
(A)

A.$(a^{\frac{1}{3}})^3=a$
B.$a^{\frac{2}{3}}a^{-\frac{2}{3}}=0$
C.$a^{\frac{2}{3}}a^{\frac{2}{5}}=a$
D.$a÷ a^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$

答案： 1 A 对于A，$(a^{\frac{1}{3}})^3=a^{\frac{1}{3} × 3}=a$，故A正确；对于B,$a^{\frac{2}{3}} · a^{-\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}-\frac{2}{3}}=a^0=1$，故B错误；对于C,$a^{\frac{3}{2}}a^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{3}{2}+\frac{2}{3}}=a^{\frac{13}{6}}$，故C错误；对于D,$a ÷ a^{\frac{2}{3}}=\frac{a}{a^{\frac{2}{3}}}=a^{1-\frac{2}{3}}=a^{\frac{1}{3}}$，故D错误.

2. [2025湖南衡阳期末]若$(a-1)^3+(2b-1)^3=0$,则$2^a+4^b$的最小值为
(C)

A.8
B.6
C.4
D.2

答案： 2 C 由题可知，$a-1=-(2b-1)$，即$a+2b=2$，故$2^a+4^b=2^a+2^{2b} \geq 2\sqrt{2^a · 2^{2b}}=2\sqrt{2^{a+2b}}=4$，当且仅当$a=2b=1$时，等号成立，即$2^a+4^b$的最小值为4.

3.已知$\log_23=a$,则$4^a+4^{-a}$的值为
(D)

A.$\frac{5}{2}$
B.$\frac{10}{3}$
C.$\frac{37}{6}$
D.$\frac{82}{9}$

答案： 3 D $4^a+4^{-a}=4^{\log_23}+4^{-\log_23}=(2^2)^{\log_23}+(2^2)^{-\log_23}=(2^{\log_23})^2+(2^{\log_23})^{-2}=3^2+3^{-2}=\frac{82}{9}$.

4.(生活生产情境[2025江苏百校大联考阶段测试]二维码与生活息息相关,我们使用的二维码主要是21×21大小的,即441个点,根据0和1的二进制编码,一共有$2^{441}$种不同的码.假设我们1秒钟用掉1万个二维码,1万年约为$3×10^{11}$秒,那么大约可以用(参考数据:$\lg2≈0.3,\lg3≈0.5$)
(A)

A.$10^{117}$万年
B.117万年
C.$10^{205}$万年
D.205万年

答案： 4 A 由题意可知大约可以用$\frac{2^{441}}{3 × 10^{11} × 10^4}$万年，$\lg \frac{2^{441}}{3 × 10^{11} × 10^4}=\lg2^{441}-\lg(3 × 10^{15})=441\lg2-\lg3-15 \approx 441 × 0.3-0.5-15 \approx 117$，所以$\frac{2^{441}}{3 × 10^{11} × 10^4} \approx 10^{117}$，即大约可以用$10^{117}$万年.

5. [2025江西南昌期中]已知$a^{\log_a^a}=16\sqrt{2}$,则$a+\log_2a=$
(A)

A.11或$-\frac{23}{8}$
B.11或$-\frac{21}{8}$
C.12或$-\frac{23}{8}$
D.10或$-\frac{21}{8}$

答案： 5 A 由$a^{\log_4a}=16\sqrt{2}$，两边取对数得$\log_4a^{\log_4a}=\log_416\sqrt{2}$，则$(\log_4a)^2=\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{2})^9=\frac{9}{4}$，所以$\log_4a=\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{2}$.当$\log_4a=\frac{3}{2}$时，$a=4^{\frac{3}{2}}=2^3=8$，所以$a+\log_2a=8+\log_28=11$；当$\log_4a=-\frac{3}{2}$时，$a=4^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{8}$，所以$a+\log_2a=\frac{1}{8}+\log_2\frac{1}{8}=-\frac{23}{8}$.综上，$a+\log_2a=11$或$-\frac{23}{8}$.

6.已知m,n,p是均不等于1的正实数,$m^x=n^{2y}=p^{3z}=\frac{xy}{x+y}$,则$\frac{mn^2}{p^3}=$
(C)

A.2
B.$\frac{3}{2}$
C.1
D.$\frac{1}{2}$

答案： 6 C 设$m^x=n^2y=p^{3z}=t$，则$t＞0$且$t \neq 1$，所以$x=\frac{\log_mt}{\log_m m}=\frac{1}{\log_m},2y=\log_nt=\frac{1}{\log_n n},3z=\log_pt=\frac{1}{\log_p p}$，显然$x,y,z \neq 0$，则$\log_m m=\frac{1}{x},\log_n n=\frac{1}{2y},\log_p p=\frac{1}{3z}$，由$z=\frac{xy}{x+y}$得$xz+yz=xy$，即$yz+xz-xy=0$，等式两边同时除以$xyz$，得$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=0$，其中$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\log_m m+\log_n n^2-3\log_p p=\log_m\frac{mn^2}{p^3}$，即$\log_m\frac{mn^2}{p^3}=0$，则$\frac{mn^2}{p^3}=1$，

7. [2025广东东莞月考]设a,b,c是均不等于1的正实数,则下列等式恒成立的是
(AD)

A.$\log_ab·\log_ca=\log_cb$
B.$\log_a(bc)=\log_ab·\log_ac$
C.$\log_a(b+c)=\log_ab+\log_ac$
D.$\log_ab=\log_cb^c$

答案： 7 AD 依题意，$\log_ab · \log_ca=\frac{\ln b}{\ln a} · \frac{\ln a}{\ln c} · \frac{\ln b}{\ln c}=\log_cb$，A正确；令$a=2,b=2,c=4$，则$\log_a(bc)=\log_28=3,\log_ab · \log_ac=\log_22 · \log_24=2$，B错误；令$a=2,b=4,c=4$，则$\log_a(b+c)=\log_28=3,\log_ab+\log_ac=\log_24+\log_24=4$，C错误；$\log_ab^c=\frac{\ln b^c}{\ln a^c}=\frac{c\ln b}{c\ln a}=\log_ab$，D正确.

8. [2025辽宁锦州月考]已知$\log_{\frac{1}{3}}a+\log_9b=0$,则下列说法一定正确的是
(BCD)

A.$(2^a)^2=2^b$
B.$a·e^{\ln a}=b$
C.$b=a^2$
D.$\log_2a=\log_8(ab)$

答案： 8 BCD 依题意得$-\log_3a+\frac{1}{2}\log_3b=0$，即$\log_3b=\log_3a^2$，则$b=a^2$且$a,b＞0$，故C正确；对于A，$(2^a)^2=2^{2a}$，而$b=a^2$，当$a=2$时，才有$a^2=2a$，此时$(2^a)^2=2^b$，故A不一定正确；对于B，$a · e^{\ln a}=a^2=b$，故B正确；对于D，$\log_2a=\log_8(ab) \Leftrightarrow 3\log_2a=\log_2(ab) \Leftrightarrow b=a^2$，故D正确.

9.已知一容器中有A,B两种菌,且在任何时刻A,B两种菌的个数乘积为定值$10^{10}$,简单起见,科学家用$P_A=\lg n_A$来记录A菌个数的资料,其中$n_A$为A菌的个数,用$P_B=\lg n_B$来记录B菌个数的资料,其中$n_B$为B菌的个数.下列说法正确的是(参考数据:$\lg2≈0.3$)
(CD)

A.$P_A≥1$
B.若今天的$P_A$值比昨天的$P_A$值增加1,则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多90
C.假设科学家将B菌的个数控制为5000,则此时$6＜P_A＜6.5$
D.无论A,B两种菌的个数分别为多少,$P_AP_B$的值不可能超过25

答案： 9 CD 对于A，当$n_A=1$时，$P_A=0$，故A错误；对于B，假设今天的$P_A=3$，则$n_A=10^3$，昨天的$P_A^\prime=2$，则$n_A^\prime=10^2$，今天的$P_A$值比昨天的$P_A$值增加$1$，而今天的A菌个数比昨天的A菌个数多$10^3-10^2=900$，故B错误；对于C，B菌的个数为$n_B=5 × 10^3$，因为A，B两种菌的个数乘积为定值$10^{10}$，所以$n_A=\frac{10^{10}}{5 × 10^3}=2 × 10^6$，所以$P_A=\lg n_A=\lg2+6$，又$\lg2 \approx 0.3$，所以$6＜P_A＜6.5$，故C正确；对于D，$P_AP_B=\lg n_A · \lg n_B \leq (\frac{\lg n_A+\lg n_B}{2})^2=[\frac{\lg(n_A · n_B)}{2}]^2=(\frac{\lg10^{10}}{2})^2=25$，当且仅当$\lg n_A=\lg n_B$时，等号成立，故D正确.