《2025年小题狂做高中数学必修第一册苏教版》

11. 已知 log₃5 = m，log₃7 = n，则用 m，n 表示 log₃₅9 =$\frac{2}{m + n}$.

答案： $11. \frac{2}{m + n} $因为$ \log_{3}5 = m，$$\log_{3}7 = n，$所以$ \log_{35}9 =$
$\frac{\log_{3}9}{\log_{3}35}=\frac{2}{\log_{3}5+\log_{3}7}=\frac{2}{m + n}.$

12. 已知 x₁，x₂ 是方程 3(lg x)² - lg x⁵ + 1 = 0 的两个实数根，则 lg(x₁x₂) · (log_x₁x₂ + log_x₂x₁) 的值等于$\frac{95}{9}$.

答案： $12. \frac{95}{9} $设$ t=\lg x，$则原方程化为$ 3t^{2}-5t + 1 = 0，$$\Delta =$
$(-5)^{2}-4×3×1 = 13＞0，$$t_{1}+t_{2}=\frac{5}{3}，$$t_{1}t_{2}=\frac{1}{3}，$即$\lg x_{1}+\lg x_{2}=\frac{5}{3}，$$\lg x_{1}\lg x_{2}=\frac{1}{3}，$所以$ \lg(x_{1}x_{2})·(\log_{x_{1}}x_{2}+\log_{x_{2}}x_{1}) = (\lg x_{1}+\lg x_{2})(\frac{\lg x_{1}}{\lg x_{2}}+\frac{\lg x_{2}}{\lg x_{1}})=\frac{5}{3}×\frac{(\lg x_{1})^{2}+(\lg x_{2})^{2}}{\lg x_{1}\lg x_{2}}=\frac{5}{3}×\frac{(\lg x_{1}+\lg x_{2})^{2}-2\lg x_{1}\lg x_{2}}{\lg x_{1}\lg x_{2}}=\frac{5}{3}×\frac{(\frac{5}{3})^{2}-2×\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{95}{9}.$

13. (1) 已知 m ＞ 0，n ＞ 0，$log₄m = log₈n = log_16(2m + n)，$求 log₂√m - log₄n 的值；
(2) 设 x^a = y^b = z^c (x，y，z 都是不为 1 的正数，abc ≠ 0)，求 z = xy 的充要条件.

答案： 13. 解：
(1)由$ \log_{4}m=\log_{8}n=\log_{16}(2m + n)，$得$ \log_{2^{2}}m=\log_{2^{3}}n=\log_{2^{4}}(2m + n)，$
则$ \log_{2}\sqrt{m}=\log_{2}\sqrt[3]{n}=\log_{2}\sqrt[4]{2m + n}，$于是$ \sqrt{m}=\sqrt[3]{n}=\sqrt[4]{2m + n}=k＞0，$
整理得$ m = k^{2}，$$n = k^{3}，$$2m + n = k^{4}，$即$ 2k^{2}+k^{3}=k^{4}，$解得
k = 2，即 m = 4，n = 8，
所以$ \log_{2}\sqrt{m}-\log_{4}n=\log_{2}2-\log_{4}8 = 1-\log_{2^{2}}2^{3}=1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}.$
(2)令$ x^{a}=y^{b}=z^{c}=t，$依题意，t＞0且$ t\neq1，$则$ a\log_{t}x =$
$b\log_{t}y = c\log_{t}z = 1，$
于是$ \log_{t}x=\frac{1}{a}，$$\log_{t}y=\frac{1}{b}，$$\log_{t}z=\frac{1}{c}，$$z = xy\Leftrightarrow\log_{t}z =$
$\log_{t}x+\log_{t}y\Leftrightarrow\frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}，$
所以 z = xy 的充要条件是$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}.$

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养. 对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.
(1) 对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就. 对数运算性质的推导有很多方法. 请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果 a ＞ 0，且 a ≠ 1，M ＞ 0，那么 logₐMⁿ = n logₐM (n ∈ R).
(2) 因为$ 2^10 = 1 024 ∈ (10³，$10⁴)，所以$ 2^10 $的位数为 4 (一个自然数数位的个数，叫作位数).
请你运用所学过的对数运算的知识，判断$ 2 022^2023 $的位数. (注：lg 2 022 = 3.306)
(3) 中国围棋九段棋手柯洁与机器人阿尔法狗进行了三局对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为$ M = 3^361. $根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和约为$ N = 10^80，$甲、乙两个同学都估算了 M/N 的近似值，甲认为是$ 10^73，$乙认为是$ 10^93. $现在有一种定义：若实数 x，y 满足 |x - m| ＜ |y - m|，则称 x 比 y 接近 m，试判断哪个同学的近似值更接近 M/N，并说明理由. (注：lg 2 ≈ 0.301 0，lg 3 ≈ 0.477 1)

答案： [探究拓展] 解：
(1)证法 1 设$ x=\log_{a}M，$所以$ M = a^{x}，$所以$ M=(a^{x})^{n}=a^{nx}，$所以$ \log_{a}M^{n}=nx=n\log_{a}M.$
证法 2 设$ x = n\log_{a}M，$所以$\frac{x}{n}=\log_{a}M，$所以$ a^{\frac{x}{n}}=M，$所以$ a^{x}=M^{n}，$所以$ x=\log_{a}M^{n}，$所以$ n\log_{a}M=\log_{a}M^{n}.$
证法 3 因为$ a^{\log_{a}M}=M，$$(a^{\log_{a}M})^{n}=M^{n}，$
所以$ a^{n\log_{a}M}=a^{\log_{a}M^{n}}，$所以$ n\log_{a}M=\log_{a}M^{n}.$
(2)解法 1 设$ 10^{k}＜2022^{2023}＜10^{k + 1}，$$k\in N^{*}，$所以 k＜\lg2022^{2023}＜k + 1，所以 k＜2023\lg2022＜k + 1，所以 k＜2023×3.306＜k + 1，所以 6687.038＜k＜6688.038. 因为$ k\in N^{*}，$所以 k = 6688，所以$ 2022^{2023} $的位数为 6689.
解法 2 设$ 2022^{2023}=N，$所以$ 2023\lg2022=\lg N，$
所以$ 2022×3.306=\lg N，$所以$ \lg N = 6688.038，$所以 N =
$10^{6688.038}=10^{0.038}×10^{6688}.$
因为 1＜10^{0.038}＜10，所以 N 的位数为 6689，即$ 2022^{2023} $的
位数为 6689.
(3)根据题意，得$\frac{M}{N}=10^{80}，$所以$ \lg\frac{M}{N}=\lg3^{361}=\lg3^{361}-\lg10^{80}=361·\lg3 - 80\approx92.2331，$所以$\frac{M}{N}\approx10^{92.2331}\in$
$(10^{92},10^{93}).$
因为$ \lg(2×3^{361})=\lg2 + 361×\lg3\approx172.5341＜173 =$
$\lg10^{173}，$所以$ 2×3^{361}＜10^{173}＜10^{173}+10^{153}，$所以$\frac{2×3^{361}}{10^{80}}＜$
$10^{93}+10^{73}，$所以$\frac{3^{361}}{10^{80}}-10^{73}＜\frac{3^{361}}{10^{80}}-10^{93}$
所以甲同学的近似值更接近$\frac{M}{N}.$