《2025年小题狂做高中数学必修第一册苏教版》

1. 设函数$f(x)=a^{x}(a\gt0$且$a\neq1)$，且$f(-1)=2$，则下列结论正确的是（ ）
A.f(1.1)＞f(1.2)
B.f(x)在定义域上的增区间为(0,+∞)
C.函数图象经过点(1,1)
D.函数解析式为 f(x)=2^x

答案： 1. A 由$f(-1)=a^{-1}=2$，可得$a=\frac{1}{2}$，所以$f(x)=(\frac{1}{2})^x$，故 D 错误；函数在定义域$\mathbf{R}$上单调递减，所以$f(1.1)＞f(1.2)$，故 A 正确，故 B 错误；又$f(1)=\frac{1}{2}$，故 C 错误.

2. 设 0＜a＜1,则关于 x 的不等式$ a^{2x^2−3x+2}＞a^{2x^2+2x−3} $的解集为 (B)

A.{x|x＜1}
B.{x|x＞1}
C.{x|x＞0}
D.{x|x＜0}

答案： 2. B 因为$0＜a＜1$，所以$y=a^x$在$(-\infty,+\infty)$上为减函数.因为$a^{2x^2 - 3x + 2} ＞ a^{2x^2 + 2x - 3}$，所以$2x^2 - 3x + 2 ＜ 2x^2 + 2x - 3$，解得$x ＞ 1$.
方法总结 解关于指数函数的不等式问题，常有如下几种类型：
(1)形如$a^x ＞ a^y$的不等式，借助函数$y = a^x(a ＞ 0$且$a \neq 1)$的单调性求解.如果$a$的取值不确定，那么需分$a ＞ 1$和$0 ＜ a ＜ 1$两种情况讨论.
(2)形如$a^x ＞ b$的不等式，先将$b$化成以$a$为底的指数幂的形式，再借助函数$y = a^x(a ＞ 0$且$a \neq 1)$的单调性求解.
(3)形如$a^x ＞ b^x$的不等式，利用函数的图象求解.

3. 将函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度后,再向上平移 4 个单位长度,所得函数图象与曲线 y=4^x 关于 y 轴对称,则 f(−2)= (C)

A.-4
B.-2
C.0
D.4

答案： 3. C 设函数$f(x)$的图象向右平移$1$个单位长度，再向上平移$4$个单位长度后所得的图象为函数$g(x)$的图象.因为$g(x)$的图象与曲线$y = 4^x$关于$y$轴对称，所以$g(x) = 4^{-x}$，所以将$g(x)$的图象向下平移$4$个单位长度，再向左平移$1$个单位长度后可得$f(x)$的图象，则$f(x)=4^{-(x + 1)} - 4$，所以$f(-2)=4^1 - 4 = 0$.

4. 已知函数$ f(x)=2^{|x+a|}(a∈R)$为偶函数,则函数 y=f(x)的增区间为 (B)

A.(−1,+∞)
B.(0,+∞)
C.(−∞,−1)
D.(−∞,0)

答案： 4. B 因为函数$f(x)=2^{|x + a|}(a\in\mathbf{R})$为偶函数，所以$2^{|-x + a|}=2^{|x + a|}$，解得$a = 0$，所以函数$f(x)=2^{|x|}=\begin{cases}2^{-x},x\leq0,\\2^x,x＞0,\end{cases}$其增区间为$(0,+\infty)$.

5. 下列大小关系正确的是 (C)
①$(\frac{2}{5})^{\frac{1}{2}}＞(\frac{2}{5})^{\frac{1}{3}}$，②$(\frac{2}{5})^{\frac{1}{2}}＜(\frac{1}{2})^{\frac{2}{5}}$，③$(\frac{1}{2})^{\frac{1}{5}}＞(\frac{1}{3})^{\frac{1}{5}}$，④$(\frac{2}{5})^{-\frac{1}{5}}＞(\frac{1}{3})^{-\frac{2}{5}}$.

A.①②
B.③④
C.②③
D.①③

答案： 5. C 对于①，因为指数函数$y = (\frac{2}{5})^x$单调递减，所以$(\frac{2}{5})^{\frac{1}{2}}＜(\frac{2}{5})^{\frac{1}{3}}$，①错误.对于②，因为指数函数$y = (\frac{2}{5})^x$单调递减，所以$(\frac{2}{5})^{\frac{2}{5}}＜(\frac{2}{5})^{\frac{2}{3}}$；又因为幂函数$y = x^{\frac{2}{5}}$在$(0,+\infty)$上单调递增，所以$(\frac{2}{5})^{\frac{2}{5}}＜(\frac{1}{2})^{\frac{2}{5}}$，所以$(\frac{2}{5})^{\frac{2}{5}}＜(\frac{1}{2})^{\frac{2}{5}}$，②正确.对于③，因为幂函数$y = x^{\frac{1}{5}}$在$(0,+\infty)$上单调递增，所以$(\frac{1}{2})^{\frac{1}{5}}＜(\frac{2}{5})^{\frac{1}{5}}$，③正确.对于④，因为幂函数$y = x^{-\frac{1}{5}}$在$(0,+\infty)$上单调递减，所以$(\frac{2}{5})^{-\frac{1}{5}}＜(\frac{1}{9})^{-\frac{1}{5}}$，即$(\frac{2}{5})^{-\frac{1}{5}}＜(\frac{1}{3})^{-\frac{2}{5}}$，④错误.
方法总结 指数式比较大小的方法
(1)底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性判断.
(2)底数不同、指数相同：利用幂函数的性质或指数函数的图象解决.在同一坐标系中画出各个函数的图象，依据底数$a$对指数函数图象的影响，在$y$轴右侧，从$x$轴开始由下往上观察，底数在逐渐增大，然后观察指数所对应的函数值即可.
(3)底数不同、指数也不同：采用介值法（中间量法）.取中间量$1$，其中一个大于$1$，另一个小于$1$；或者以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数.如要比较$a^d$与$b^d$的大小，可取$a^d$为中间量，$a^d$与$a^d$利用指数函数$y = a^x$的单调性比较大小，$b^d$与$a^d$利用幂函数$y = x^d$的图象比较大小.

6. 如果指数函数图象经过点$ P(−m^2−1,n^2+2n+3),$那么这个指数函数的图象可能经过点 (C)

A. $(-1,\frac{1}{2})$

B. $(-2,\frac{1}{4})$

C. $(3,\frac{1}{8})$

D.(1,2)

答案： 6. C 因为$P(-m^2 - 1,n^2 + 2n + 3)$，所以$x = -m^2 - 1\leq -1$，$y = n^2 + 2n + 3=(n + 1)^2 + 2\geq2$.设指数函数$y = a^x(a ＞ 0$且$a \neq 1)$，则易知$0 ＜ a ＜ 1$，所以当$x ＜ 0$时，$y ＞ 1$；当$x ＞ 0$时，$0 ＜ y ＜ 1$.故只有$(3,\frac{1}{8})$才可能是该指数函数的图象经过的点.

7. 已知函数 f(x)=a^x−b(a＞0,a≠1)的图象如图所示,则下列说法正确的是 (BD)


A.a＞1
B.b＞1

$C.2^{b−a}＜1$
D.g(x)=b^x−a 的图象不经过第四象限

答案： 7. BD 对于 A，由图象可知函数单调递减，则$0 ＜ a ＜ 1$，故 A 错误；对于 B，当$x = 0$时，$f(0)=a^0 - b = 1 - b$，由图象可得$1 - b ＜ 0$，解得$b ＞ 1$，故 B 正确；对于 C，由$-1 ＜ -a ＜ 0$，得$b - a ＞ 0$，由$y = 2^x$是增函数，则$2^{b - a} ＞ 2^0 = 1$，故 C 错误；对于 D，由$b ＞ 1$，$0 ＜ a ＜ 1$，知函数$g(x)$是增函数，当$x = 0$时，$g(0)=b^0 - a = 1 - a ＞ 0$，故 D 正确.

8. 若实数 x1,x2,x3 满足$ x3⋅2^{x1}=x3⋅3^{x2}=1,$则下列不等关系可能成立的是 (ABC)

A.x1＜x2＜x3
B.x2＜x3＜x1
C.x3＜x2＜x1
D.x3＜x1＜x2

答案：
8. ABC 实数$x_1,x_2,x_3$满足$x_3·2^{x_1}=x_3·3^{x_2}=1$，所以$x_3\neq0$，变形得$2^{x_1}=3^{x_2}=\frac{1}{x_3}$，如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数$y = 2^x,y = 3^x,y=\frac{1}{x}$的图象，再作出直线$y = m$，变换$m$的值，发现$x_1,x_2,x_3$的大小关系可能为$x_3 ＜ x_2 ＜ x_1,x_3 = x_2 ＜ x_1,x_2 ＜ x_3 ＜ x_1,x_2 ＜ x_1 = x_3,x_2 = x_1 ＜ x_3$，故 A,B,C 正确，D 错误.

9. 定义在[−1,1]上的函数 f(x)=−2⋅9^x+4⋅3^x,则下列结论正确的是 (ACD)

A.f(x)的减区间是[0,1]
B.f(x)的增区间是[−1,1]
C.f(x)的最大值是 f(0)=2
D.f(x)的最小值是 f(1)=−6

答案： 9. ACD 设$t = 3^x,x\in[-1,1]$，因为$t = 3^x$是增函数，所以$t\in[\frac{1}{3},3]$.又函数$y = -2t^2 + 4t = -2(t - 1)^2 + 2$在$[\frac{1}{3},1]$上单调递增，在$[1,3]$上单调递减，所以$f(x)$在$[-1,0]$上单调递增，在$[0,1]$上单调递减，故 A 正确，B 错误；$f(x)_{max} = f(0)=2$，故 C 正确；$f(-1)=\frac{10}{9}$，$f(1)= -6$，所以$f(x)_{min} = f(1)= -6$，故 D 正确.