《2025年小题狂做高中数学必修第一册苏教版》

1. 函数$f(x)=\frac{4}{x-2}(x\in[3,6])$的最小值和最大值分别是
(C)

A.3,6
B.1,3
C.1,4
D.1,6

答案： 1.C　函数$f(x)=\frac{4}{x - 2}$在区间$[3,6]$上单调递减，把$6$，$3$分别代入得$f(x)_{\min}=f(6)=1$，$f(x)_{\max}=f(3)=4$.

2. 函数$f(x)=\frac{1}{1-x(1-x)}$的最大值是
(C)

A.$\frac{5}{4}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{3}{4}$

答案： 2.C　因为$1 - x(1 - x)=x^{2}-x + 1=(x - \frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}\geq\frac{3}{4}$，所以$\frac{1}{1 - x(1 - x)}\leq\frac{4}{3}$.

3. 已知函数$f(x)=\begin{cases}-x^2 + 4x, & x \geq 0 \\ -x, & x ＜ 0\end{cases}$，若$f(x)$在$[-3,t)$上的值域为$[0,4]$，则实数$t$的取值范围是 ( )

A.$(2,4]$
B.$[2,4]$
C.$[-2,2]$
D.$[2,4)$

答案：
3.A　因为$f(x)=\begin{cases}-x^{2}+4x,x\geq 0\\-x,x\lt 0\end{cases}$，所以$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减且$f(-3)=3$.当$x\geq 0$时，$f(x)=-x^{2}+4x=-(x - 2)^{2}+4$，所以$f(x)$在$[0,2)$上单调递增，在$(2,+\infty)$上单调递减.又$f(0)=f(4)=0$，$f(2)=4$，则$f(x)$的图象如图所示.
　　　　　　
因为$f(x)$在$[-3,t)$上的值域为$[0,4]$，所以$2\lt t\leq 4$，即实数$t$的取值范围是$(2,4]$.

4. 某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为$L_1 = -x^2 + 21x$和$L_2 = 2x$，其中$x$为销售量(单位：辆). 若该公司在两地共销售 15 辆该车，则能获得的最大利润为 (C)

A.90 万元
B.60 万元
C.120 万元
D.120.25 万元

答案： 4.C　设公司在甲地销售$a$辆$(0\leq a\leq 15,a$为正整数)该品牌车，则在乙地销售$(15 - a)$辆该品牌车.因为公司获得的利润$L=-a^{2}+21a + 2(15 - a)=-a^{2}+19a + 30$，所以当$a = 9$或$a = 10$时，$L$取得最大值，最大利润为$120$万元.

5. 设函数$f(x)=1 - 2x^2$，$g(x)=x^2 - 2x$，若$F(x)=\begin{cases}g(x), & f(x) \geq g(x) \\ f(x), & f(x) ＜ g(x)\end{cases}$，则函数$F(x)$的最大值为 ( )

A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{4}{9}$
C.$\frac{5}{9}$
D.$\frac{7}{9}$

答案：
5.D　作出函数$F(x)$的图象如图所示，当$f(x)=g(x)$时，即$1 - 2x^{2}=x^{2}-2x$，解得$x=-\frac{1}{3}$或$x = 1$，则由图象可知$F(x)_{\max}=F(-\frac{1}{3})=\frac{7}{9}$.
　　　　　　

6. 已知函数$f(x)=x^2 - 2ax + a$在区间$(-\infty,1)$上有最小值，则函数$g(x)=\frac{f(x)}{x}$在区间$(1,+\infty)$上一定 (B)

A.单调递减
B.单调递增
C.有最小值
D.有最大值

答案： 6.B　函数$f(x)$图象的对称轴为直线$x = a$，且图象开口向上，由题意，得$a\lt 1$.又$g(x)=\frac{f(x)}{x}=x+\frac{a}{x}-2a$，则当$a = 0$时，$g(x)=x$在$\mathbf{R}$上单调递增，函数既无最大值，也无最小值；当$0\lt a\lt 1$时，函数$g(x)$在$(-\infty,-\sqrt{a})$和$(\sqrt{a},+\infty)$上单调递增，在$(-\sqrt{a},0)$，$(0,\sqrt{a})$上单调递减，函数既无最大值，也无最小值；当$a\lt 0$时，函数$g(x)$在$(-\infty,0)$，$(0,+\infty)$上单调递增，函数既无最大值，也无最小值.综上，$f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增.

7. 若函数$y = x^2 - 4x - 3$的定义域为$[0,a]$，值域为$[-7,-3]$，则$a$的值可能为 (BC)

A.1
B.2
C.4
D.5

答案：
7.BC　令$y=x^{2}-4x - 3=-3$，得$x = 0$或$x = 4$；令$y=x^{2}-4x - 3=-7$，得$x = 2$.二次函数$y=x^{2}-4x - 3$图象的对称轴为$x = 2$，函数$y=x^{2}-4x - 3$的图象如图所示.
　　　　　　　
要想函数$y=x^{2}-4x - 3$的定义域为$[0,a]$，值域为$[-7,-3]$，只需$2\leq a\leq 4$，选项B，C符合.
方法总结：已知函数$f(x)$，其定义域为$D$，则
(1)若$\forall x\in D,f(x)\geq a$成立，则$a\leq f(x)_{\min}$；
(2)若$\forall x\in D,f(x)\leq a$成立，则$a\geq f(x)_{\max}$；
(3)若$\exists x\in D,f(x)\geq a$成立，则$a\leq f(x)_{\max}$；
(4)若$\exists x\in D,f(x)\leq a$成立，则$a\geq f(x)_{\min}$.

8. 若函数$g(x)$在定义域$[c,d]$上的值域为$[g(c),g(d)]$，则称$g(x)$为“$\Omega$函数”. 已知函数$g(x)=\begin{cases}5x, & 0\leq x\leq 2 \\ x^2 - 4x + n, & 2 ＜ x \leq 4\end{cases}$是“$\Omega$函数”，则实数$n$的取值可以是 ( )

A.10
B.11
C.14
D.18

答案： 8.ABC　由题意可知$g(x)$的定义域为$[0,4]$，值域为$[g(0),g(4)]$，而$g(0)=0$，$g(4)=n$，所以$g(x)$的值域为$[0,n]$.当$0\leq x\leq 2$时，$g(x)=5x$单调递增，此时值域为$[0,10]$；当$2\lt x\leq 4$时，$g(x)=x^{2}-4x + n$，图象是开口向上的抛物线的一部分，对称轴为直线$x = 2$，故此时$g(x)$单调递增，值域为$(n - 4,n]$.因此$\begin{cases}0\leq n - 4\leq 10\\n\geq 10\end{cases}$，解得$10\leq n\leq 14$.

9. 已知函数$f(x)=x^2 - 2x + 1$在区间$[a,a + 8]$上的最小值为 9，则$a$的可能取值为 (AD)

A.4
B.-2
C.-4
D.-10

答案： 9.AD　函数$f(x)=x^{2}-2x + 1$图象的对称轴为直线$x = 1$，开口向上.当$a\geq 1$时，函数$f(x)$在区间$[a,a + 8]$上单调递增，所以$f(x)_{\min}=f(a)=a^{2}-2a + 1=9$，解得$a=-2$(舍)或$a = 4$.当$a + 8\leq 1$，即$a\leq -7$时，函数$f(x)$在区间$[a,a + 8]$上单调递减，所以$f(x)_{\min}=f(a + 8)=a^{2}+14a + 49=9$，解得$a=-10$或$a=-4$(舍).当$-7\lt a\lt 1$时，$f(x)$在$[a,1)$上单调递减，在$(1,a + 8]$上单调递增，所以$f(x)_{\min}=f(1)=0$，不合题意.综上，实数$a$的可能取值为$4$或$-10$.