《2025年小题狂做高中数学必修第一册苏教版》

8. 若函数$f(x) = x^\alpha$的图象经过点$(\frac{1}{2},2)$，则
(BCD)

A.$f(x)$的图象经过点$(2,4)$
B.$f(x)$的图象关于原点对称
C.若$x \in [1,2]$，则$f(x) \in [\frac{1}{2},1]$
D.当$x ＞ 0$时，$f(x) \geq 2 - x$恒成立

答案： 8. BCD 由函数$f(x)=x^{\alpha}$的图象经过点$(\frac{1}{2},2)$，得$(\frac{1}{2})^{\alpha}=2$，解得$\alpha = -1$，所以函数$f(x)=x^{-1}$，所以$f(2)=\frac{1}{2}$，故A错误；函数$f(x)=x^{-1}$为奇函数，它的图象关于原点对称，故B正确；若$x\in[1,2]$，函数$f(x)=x^{-1}$在$[1,2]$上单调递减，则$f(2)\leq f(x)\leq f(1)$，即$f(x)\in[\frac{1}{2},1]$，故C正确；当$x＞0$时，$x^{-1}-(2 - x)=\frac{1 - 2x + x^{2}}{x}=\frac{(1 - x)^{2}}{x}\geq0$，所以$f(x)\geq2 - x$恒成立，故D正确.

9. 已知函数$f(x) = x^\alpha$的图象经过点$(4,2)$，则下列命题正确的有
(ACD)

A.函数为增函数
B.函数为偶函数
C.若$x ＞ 1$，则$f(x) ＞ 1$
D.若$0 ＜ x_1 ＜ x_2$，则$\frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} ＜ f(\frac{x_1 + x_2}{2})$

答案： 9. ACD 由$2 = 4^{\alpha}$，得$\alpha=\frac{1}{2}$，所以$f(x)=x^{\frac{1}{2}}$.显然$f(x)$在定义域$[0,+\infty)$上为增函数，所以A正确；$f(x)$的定义域为$[0,+\infty)$，所以$f(x)$不具有奇偶性，所以B错误；当$x＞1$时，$\sqrt{x}＞1$，即$f(x)＞1$，所以C正确；当$0＜x_{1}＜x_{2}$时，$[\frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}]^{2}-f^{2}(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})=(\frac{\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}}{2})^{2}-(\sqrt{\frac{x_{1}+x_{2}}{2}})^{2}=\frac{x_{1}+x_{2}+2\sqrt{x_{1}x_{2}}}{4}-\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{2\sqrt{x_{1}x_{2}}-x_{1}-x_{2}}{4}=-\frac{(\sqrt{x_{1}}-\sqrt{x_{2}})^{2}}{4}＜0$，所以$\frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}＜f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})$成立，所以D正确.

10. 如图为三个幂函数$y = x^{a_1},y = x^{a_2},y = x^{a_3}$在其定义域上的局部图象，则实数$a_1,a_2,a_3$从小到大的排列顺序为$a_{1}＜a_{2}＜a_{3}$(请用“＜”连接).

答案： 10. $a_{1}＜a_{2}＜a_{3}$根据幂函数的性质，若它在第二象限有图象，则它一定是偶函数，若它在第三象限有图象，则它一定为奇函数，为此，利用奇偶函数的对称性，作出这三个函数在第一象限的图象，则可得对于$y = x^{a_{1}}$，由其图象可知$a_{1}＜-1$，例如$a_{1}=-2$；对于$y = x^{a_{2}}$，由其图象可知$0＜a_{2}＜1$，例如$a_{2}=\frac{2}{3}$；对于$y = x^{a_{3}}$，由其图象可知$a_{3}＞1$，例如$a_{3}=3$.所以$a_{1}＜a_{2}＜a_{3}$.

11. 已知幂函数$y = f(x) = x^\alpha$在$[0,+\infty)$上是严格增函数，该幂函数的图象关于$y$轴对称，且满足$f(\frac{1}{2}) ＞ \frac{1}{2}$，请写出一个满足条件的$\alpha$的值：$\frac{2}{3}$(答案不唯一).

答案： 11. $\frac{2}{3}$(答案不唯一) 因为幂函数$y = f(x)=x^{\alpha}$在$[0,+\infty)$上是严格增函数，所以根据幂函数的图象与性质可得$\alpha＞0$.又$f(\frac{1}{2})＞\frac{1}{2}$，所以$(\frac{1}{2})^{\alpha}＞\frac{1}{2}$，即$\alpha＜1$.因为幂函数的图象关于$y$轴对称，所以幂函数$f(x)=x^{\alpha}$是偶函数，当$\alpha=\frac{2}{3}$时，满足条件.

12. 已知幂函数$y = x^{-m^2 + 2m + 3}(m \in \mathbf{N}^*)$的图象关于$y$轴对称，且在$[0,+\infty)$上单调递增，则满足$(2a + 1)^{-m} ＜ (1 - a)^{-m}$的$a$的取值范围是$(-\infty,-\frac{1}{2})\cup(0,1)$.

答案： 12. $(-\infty,-\frac{1}{2})\cup(0,1)$ 因为幂函数$y = x^{-m^{2}+2m + 3}(m\in\mathbf{N}^{*})$的图象关于$y$轴对称，且在$[0,+\infty)$上单调递增，所以$-m^{2}+2m + 3=-(m - 1)^{2}+4(m\in\mathbf{N}^{*})$为正偶数，所以$m = 1$，则不等式$(2a + 1)^{-m}＜(1 - a)^{-m}$，即$(2a + 1)^{-1}＜(1 - a)^{-1}$.因为函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$(0,+\infty),(-\infty,0)$上单调递减，所以$\begin{cases}2a + 1＞0,\\1 - a＞0,\\2a + 1＞1 - a,\end{cases}$或$\begin{cases}2a + 1＜0,\\1 - a＜0,\end{cases}$或$\begin{cases}2a + 1＜0,\\1 - a＞0,\end{cases}$解得$0＜a＜1$或$a＜-\frac{1}{2}$，所以满足$(2a + 1)^{-m}＜(1 - a)^{-m}$的$a$的取值范围是$(-\infty,-\frac{1}{2})\cup(0,1)$.
方法总结 根据函数的单调性用脱去“$f$”的方法解不等式时，若函数有多个单调区间，则需考虑自变量在每一个单调区间的情况.

13. 已知幂函数$f(x) = -(2m^2 - m - 4)x^{m + \frac{3}{2}}$.
(1) 若$f(x)$不是奇函数，解不等式$f(5 - 3x) ＞ f(x - 1)$；
(2) 若$f(x)$是奇函数，且函数$g(x)$满足$g(x + \frac{1}{x}) = f(x) + \frac{1}{f(x)}$，求函数$g(x)$的解析式.

答案： 13. 解：
(1)因为函数$f(x)=-(2m^{2}-m - 4)x^{m+\frac{3}{2}}$是幂函数，所以$-(2m^{2}-m - 4)=1$，解得$m=\frac{3}{2}$或$m = -1$.当$m=\frac{3}{2}$时，$f(x)=x^{3}$为奇函数，不符合题意，舍去；当$m = -1$时，$f(x)=x^{\frac{1}{2}}$不是奇函数，符合题意.此时函数$f(x)=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$的定义域为$[0,+\infty)$，且在定义域上单调递增，由$f(5 - 3x)＞f(x - 1)$，得$\begin{cases}5 - 3x＞x - 1,\\5 - 3x\geq0,\\x - 1\geq0,\end{cases}$即$1\leq x＜\frac{3}{2}$，所以不等式的解集为$\{x|1\leq x＜\frac{3}{2}\}$.
(2)若$f(x)$是奇函数，由
(1)知$f(x)=x^{3}$，所以$g(x+\frac{1}{x})=f(x)+\frac{1}{f(x)}=x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=(x+\frac{1}{x})(x^{2}-1+\frac{1}{x^{2}})=(x+\frac{1}{x})[(x+\frac{1}{x})^{2}-3]$.令$x+\frac{1}{x}=t$，当$x＞0$时，$x+\frac{1}{x}\geq2\sqrt{x·\frac{1}{x}} = 2$，当且仅当$x = 1$时取等号，即$t\geq2$；当$x＜0$时，$x+\frac{1}{x}=-( -x+\frac{1}{-x})\leq -2\sqrt{(-x)·\frac{1}{-x}}=-2$，当且仅当$-x=\frac{1}{-x}$，即$x = -1$时取等号，即$t\leq -2$.所以$g(t)=t(t^{2}-3),t\in(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$，所以$g(x)=x^{3}-3x,x\in(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$.