《2025年小题狂做高中数学必修第一册苏教版》

8. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时$,f(x)=x-x^2,$则下列说法正确的是 (AD)

A.f(x)的最大值为1/4
B.f(x)在(-1,0)上单调递增
C.f(x)＞0的解集为(-1,1)
D.f(x)+2x≥0的解集为[0,3]

答案： 8. AD 当$x \geq 0$时，$f(x) = x - x^2 = -(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} \leq \frac{1}{4}$，易求得当$x ＜ 0$时，$f(x) = -x - x^2 = -(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} \leq \frac{1}{4}$，$f(x)$的最大值为$\frac{1}{4}$，A正确；$f(x)$在$(-\frac{1}{2},0)$上单调递减，B错误；$f(x) ＞ 0$的解集为$(-1,0) \cup (0,1)$，C错误；当$x \geq 0$时，$f(x) + 2x = 3x - x^2 \geq 0$的解集为$[0,3]$，当$x ＜ 0$时，$f(x) + 2x = x - x^2 \geq 0$无解，故D正确.

9. 已知a+b=2,若定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)为偶函数,f(2)=0,且对任意不相等的$x_1,x_2∈[1,+∞)),$均有$\frac{f(x_{2}) - f(x_{1})}{x_{2} - x_{1}} ＜ 0$，则 (AD)

A.f(x)的图象关于直线x=1对称
B.f(x)在R上单调递增
C.f(a)+f(b)=0
D.不等式f(a)-f(b)+f(x)＜0的解集为{x|x＞2或x＜0}

答案： 9. AD 对于A，因为$f(x + 1)$为偶函数，所以$f(-x + 1) = f(x + 1)$，所以$f(x)$的图象关于直线$x = 1$对称，故A正确；对于B，对任意$x_1,x_2 \in [1, +\infty)$，均有$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} ＜ 0$，所以$f(x)$在$[1, +\infty)$上单调递减，又$f(x)$的图象关于直线$x = 1$对称，所以$f(x)$在$(-\infty,1)$上单调递增，故B错误；对于C，由于$f(x)$的图象关于直线$x = 1$对称，$a + b = 2$，故$f(a) = f(b)$，则$f(a) + f(b) = 2f(a)$，无法判断其值是否为$0$，故C不一定正确；对于D，$f(2) = 0$，$f(a) - f(b) + f(x) ＜ 0$，即$f(x) ＜ f(2)$，所以$|x - 1| ＞ 2 - 1$，解得$x ＞ 2$或$x ＜ 0$，则不等式$f(a) - f(b) + f(x) ＜ 0$的解集为$\{x|x ＞ 2$或$x ＜ 0\}$，故D正确.

10. 已知定义域为[a-4,a-2]的奇函数$f(x)=249x^3-5x+b+3,$则f(a-2)+f(b+2)的值为0.

答案： 10. 0 因为函数的定义域为$[a - 4,a - 2]$，所以$(a - 4) + (a - 2) = 0$，得$a = 3$.因为$f(-x) = -f(x)$，即$f(-x) = -249x^3 + 5x + b + 3 = -f(x) = -249x^3 + 5x - b - 3$，得$b = -3$，所以$f(x) = 249x^3 - 5x$，所以$f(a - 2) + f(b + 2) = f(1) + f(-1) = 0$.

11. 定义在R上的奇函数f(x),当x＞0时$,f(x)=x^2-3x-4,$则f(x)的解析式是.

答案： 11. $f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x - 4, & x ＞ 0, \\ 0, & x = 0, \\ -x^2 - 3x + 4, & x ＜ 0. \end{cases}$ 当$x ＜ 0$时，$-x ＞ 0$，所以$f(-x) = (-x)^2 - 3(-x) - 4 = x^2 + 3x - 4$.因为$f(x)$为奇函数，所以$f(x) = -f(-x) = -x^2 - 3x + 4$，故$f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x - 4, & x ＞ 0, \\ 0, & x = 0, \\ -x^2 - 3x + 4, & x ＜ 0. \end{cases}$

12. 设函数$f(x)=(x^3+(x+1)^2)/(x^2+1)$在区间[-2,2]上的最大值为M,最小值为N,则M+N的值为2.

答案： 12. 2 由题意知$f(x) = \frac{x^3 + 2x}{x^2 + 1} + 1(x \in [-2,2])$，设$g(x) = \frac{x^3 + 2x}{x^2 + 1}$，则$f(x) = g(x) + 1$.因为$g(-x) = \frac{-x^3 - 2x}{x^2 + 1} = -g(x)$，所以$g(x)$为奇函数，$g(x)$在区间$[-2,2]$上的最大值与最小值的和为$0$，故$M + N = 2$.

13. 已知函数$f(x)=(ax+b)/(x^2+1)$是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(1/2)=2/5.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在(-1,1)上的单调性,并用定义证明;
(3)解不等式:f(t+1/2)+f(t-1/2)≤0.

答案： 13. 解：
(1)因为函数$f(x) = \frac{ax + b}{x^2 + 1}$是定义在$(-1,1)$上的奇函数，所以$f(-x) = -f(x)$，即$\frac{-ax + b}{x^2 + 1} = -\frac{ax + b}{x^2 + 1}$，可得$b = 0$，则$f(x) = \frac{ax}{x^2 + 1}$.又$f(\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{2}a}{(\frac{1}{2})^2 + 1} = \frac{2}{5}a = \frac{2}{5}$，所以$a = 1$.
因此，$f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$.
(2)函数$f(x)$在$(-1,1)$上单调递增.证明如下：
任取$x_1,x_2 \in (-1,1)$，且$x_1 ＜ x_2$，则$f(x_1) - f(x_2) = \frac{x_1}{x_1^2 + 1} - \frac{x_2}{x_2^2 + 1} = \frac{x_1x_2^2 + x_1 - x_1^2x_2 - x_2}{(x_1^2 + 1)(x_2^2 + 1)} = \frac{x_1x_2(x_2 - x_1) + (x_1 - x_2)}{(x_1^2 + 1)(x_2^2 + 1)} = \frac{(x_1 - x_2)(1 - x_1x_2)}{(x_1^2 + 1)(x_2^2 + 1)}$.
因为$-1 ＜ x_1 ＜ x_2 ＜ 1$，所以$x_1 - x_2 ＜ 0$，$-1 ＜ x_1x_2 ＜ 1$，故$f(x_1) - f(x_2) ＜ 0$，即$f(x_1) ＜ f(x_2)$.
因此，函数$f(x)$在$(-1,1)$上单调递增.
(3)因为函数$f(x)$是$(-1,1)$上的奇函数且单调递增，由$f(t + \frac{1}{2}) + f(t - \frac{1}{2}) \leq 0$，得$f(t + \frac{1}{2}) \leq -f(t - \frac{1}{2}) = f(\frac{1}{2} - t)$，由已知可得$\begin{cases} -1 ＜ t + \frac{1}{2} ＜ 1, \\ -1 ＜ \frac{1}{2} - t ＜ 1, \\ t + \frac{1}{2} \leq \frac{1}{2} - t. \end{cases}$解得$-\frac{1}{2} ＜ t \leq 0$.
因此，不等式$f(t + \frac{1}{2}) + f(t - \frac{1}{2}) \leq 0$的解集为$(-\frac{1}{2},0]$.
方法总结 根据函数的奇偶性求参数的值有两种方法：一是利用$f(-x)$与$f(x)$(或$-f(x)$)恒等，从而得到关于所求参数的方程，由此求得参数的值；二是通过特殊值法，即在函数的定义域内取对称的自变量的值，由它们函数值的关系来得到所求参数的方程，求得参数的值后再检验它是否满足函数的奇偶性.

函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b是奇函数.
(1)依据推广结论,求函数$f(x)=x^3-3x^2$的图象的对称中心;
(2)请利用函数$f(x)=x^3-3x^2$的对称性求f(-1021)+f(-1019)+f(-1017)+…+f(-3)+f(-1)+f(1)+f(3)+f(5)+…+f(1019)+f(1021)+f(1023)的值;
(3)类比上述推广结论,写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论(不需要证明).

答案： [探究拓展] 解：
(1)设$f(x) = x^3 - 3x^2$的图象的对称中心为$P(a,b)$，则$g(x) = f(x + a) - b$为奇函数，所以$g(-x) = -g(x)$，即$f(-x + a) - b = b - f(x + a)$，所以$f(-x + a) + f(x + a) = 2b$，即$(-x + a)^3 - 3(-x + a)^2 + (x + a)^3 - 3(x + a)^2 = 2b$，整理得$(6a - 6)x^2 + 2a^3 - 6a^2 - 2b = 0$（对函数$f(x)$定义域内的任意$x$都成立），所以$\begin{cases} 6a - 6 = 0, \\ 2a^3 - 6a^2 - 2b = 0. \end{cases}$解得$\begin{cases} a = 1, \\ b = -2. \end{cases}$所以函数$f(x) = x^3 - 3x^2$的图象的对称中心为$(1,-2)$.
(2)由
(1)知函数$f(x) = x^3 - 3x^2$图象的对称中心为$(1,-2)$，所以$f(-x + 1) + f(x + 1) = -4$，则$f(-1021) + f(1023) = f(-1019) + f(1021) = ·s = f(-1) + f(3) = -4$.又$f(1) = -2$，所以$f(-1021) + f(-1019) + f(-1017) + ·s + f(-3) + f(-1) + f(1) + f(3) + f(5) + ·s + f(1019) + f(1021) + f(1023) = -4 × 511 - 2 = -2046$.
(3)推论：函数$y = f(x)$的图象关于直线$x = a$成轴对称的充要条件是函数$y = f(x + a)$为偶函数，或函数$y = f(x)$的图象关于直线$x = a$成轴对称的充要条件是$f(x + a) = f(a - x)$.
核心笔记
1. 判断函数的奇偶性的方法
(1)定义法：一般地，给出函数的解析式时，常用此方法.(第1，4题)
(2)图象法：在函数图象已知或易作出的情况下应用此法.(第5题)
(3)性质法：利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性以及复合函数的奇偶性判断.
设非零函数$f(x),g(x)$的定义域分别是$F,G$，若$F = G$，则有
|$f(x)$|$g(x)$|$f(x) + g(x)$|$f(x) - g(x)$|$f(x)g(x)$|$f[g(x)]$|
|--|--|--|--|--|--|
|偶函数|偶函数|偶函数|偶函数|偶函数|偶函数|
|偶函数|奇函数|不能确定奇偶性|不能确定奇偶性|奇函数|偶函数|
|奇函数|偶函数|不能确定奇偶性|不能确定奇偶性|奇函数|偶函数|
|奇函数|奇函数|奇函数|奇函数|偶函数|奇函数|
注意：上述表格中不考虑$f(x) \pm g(x) = 0$的情况；在$f[g(x)]$中，需$x \in G,g(x) \in F$.
2. 函数为奇函数或偶函数的前提条件是它的定义域关于原点对称，为此，判断函数的奇偶性时，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称.(第10题)
3. 函数奇偶性的应用的常见题型
(1)利用函数的奇偶性求参数的值：一般地，此类问题可根据函数的定义域的对称性、奇偶函数的定义来求参数的值.(第10题)
(2)利用函数的奇偶性求函数的值：一般地，可以利用奇偶性找出待求的函数值与已知的函数值之间的关系，进而进行求解.(第2，12题)
(3)利用函数的奇偶性求函数的解析式：一般地，利用转移的方法将未知的区间转化到已知的区间上，代入已知的解析式，根据函数的奇偶性来求解即可.(第11题)
4. 函数的奇偶性与单调性相结合的问题
(1)利用奇偶性比较大小问题：一般解法是利用函数的奇偶性将不在同一个单调区间上的两个或多个自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较其对应的函数值的大小.(第7题)
(2)抽象不等式问题：①将所给的不等式化归为两个函数值的大小关系；②利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性脱去函数符号“$f$”，转化为解不等式(组)的问题.(第6，13题)
5. 函数奇偶性的本质是函数对称性的一种特殊情况，一般地，函数$y = f(x)$满足：
(1)$f(a + x) = f(a - x)$，即函数$f(a + x)$为偶函数，$f(x)$的图象关于直线$x = a$对称，反之也成立.(第9题)
(2)$f(a + x) = -f(a - x)$，即函数$f(a + x)$为奇函数，$f(x)$的图象关于点$(a,0)$对称，反之也成立.(探究拓展)