《2025年小题狂做高中数学必修第一册苏教版》

1. [2025 河北保定月考]若命题$p$：梯形是四边形，则
(A)

A.$p$是全称量词命题，且$p$的否定：有些梯形不是四边形
B.$p$是全称量词命题，且$p$的否定：所有的梯形不是四边形
C.$p$是存在量词命题，且$p$的否定：有些梯形不是四边形
D.$p$是存在量词命题，且$p$的否定：所有的梯形不是四边形

答案： 1. A是全称量词命题，且$p$的否定：有些梯形不是四边形

2. [2025 江苏徐州期中]给出下列命题：
①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形；
②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形；
③方程$x^{2}-3x - 4 = 0$的判别式大于 0；
④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等；
⑤集合$A \cap B$是集合$A$的子集，且是$A \cup B$的子集.
其中真命题的个数是
(C)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 2. C对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故是真命题；对于②，菱形不一定有外接圆，故是假命题；对于③，方程$x^{2}-3x - 4 = 0$的判别式$\Delta = 9 - 4×(-4) = 25＞0$，故是真命题；对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故是假命题；对于⑤，$A\cap B\subseteq A$，$A\subseteq A\cup B$，则$A\cap B\subseteq A\cup B$，故是真命题.故真命题个数是3.

3. (科技发展情境[2025 陕西西安阶段练习]2022 年 11 月 1 日凌晨 4 点 27 分，梦天实验舱与天和核心舱成功实现“太空握手”. 对接时，只有空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度，且空间站组合体前向对接口朝向了梦天舱赶上来的方向，才能实现“太空握手”. 根据以上信息，可知“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的
(A)

A.充分且不必要条件
B.必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件

答案： 3. A由题意知“太空握手”$\Rightarrow$“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”；“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”$\nRightarrow$“太空握手”，所以“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的充分且不必要条件.

4. [2025 山东济南月考]下列选项中，使“$\varnothing$是集合$M = \{x|ax^{2}+2x + 1 = 0,a \in \mathbf{R}\}$的真子集”成立的一个必要且不充分条件是
(D)

A.$a \in (-\infty,0)$
B.$a \in (-\infty,0]$
C.$a \in (-\infty,1]$
D.$a \in (-\infty,2)$

答案： 4. D若“$\varnothing$是集合$M = \{x|ax^{2}+2x + 1 = 0,a\in R\}$的真子集”，则$M = \{x|ax^{2}+2x + 1 = 0,a\in R\}\neq \varnothing$，所以方程$ax^{2}+2x + 1 = 0$有实数解.当$a = 0$时，由$2x + 1 = 0$可得$x = -\frac{1}{2}$，符合题意；当$a\neq0$时，由$\Delta = 4 - 4a\geqslant0$可得$a\leqslant1$，所以$a\leqslant1$且$a\neq0$.综上所述，$M = \{x|ax^{2}+2x + 1 = 0,a\in R\}\neq \varnothing$的充要条件为$a\leqslant1$，即使“$\varnothing$是集合$M = \{x|ax^{2}+2x + 1 = 0,a\in R\}$的真子集”成立的充要条件为$a\leqslant1$.所选集合是$\{a|a\leqslant1\}$的必要且不充分条件，则$(-\infty,1]$应是所选集合的真子集，故选项A，B，C都不正确，选项D正确.

5. [2025 上海交大附中阶段练习]已知$A$，$B$是全集$\mathbf{I}$的真子集，有下列四个命题：
①$A \cap B = A$；②$A \cup B = A$；③$A \cap (\complement_{I}B) = \varnothing$；④“$x \in B$”是“$x \in A$”的必要且不充分条件.
其中与$A \subseteq B$等价的有
(B)

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案：
5. B由$A\subseteq B$得Venn图：
　　　
对于①，$A\cap B = A$等价于$A\subseteq B$，故①正确；对于②，$A\cup B = A$等价于$B\subseteq A$，故②错误；对于③，$A\cap(\complement_{I}B)=\varnothing$等价于$A\subseteq B$，故③正确；对于④，“$x\in B$”是“$x\in A$”的必要且不充分条件等价于$A\subsetneqq B$，故④错误.所以与$A\subseteq B$等价的有①③，共2个.

6. 下面四个结论中正确的是
(B)

A.$\forall a,b \in \mathbf{R}$，若$a ＞ b$，则$a^{2} ＞ b^{2}$
B.命题“$\exists x \in (-3,+\infty),x^{2} \leq 9$”的否定是“$\forall x \in (-3,+\infty),x^{2} ＞ 9$”
C.“$x^{2} ＞ y^{2}$”是“$x ＞ y$”的必要且不充分条件
D.“$m ＜ 0$”是“关于$x$的方程$x^{2}-2x + m = 0$有解”的充要条件

答案： 6. B对于A，取$a = 1,b = -2$，显然$a＞b$，但$a^{2}＜b^{2}$，故A错误；对于B，“$\exists x\in(-3,+\infty),x^{2}\leqslant9$”的否定是“$\forall x\in(-3,+\infty),x^{2}＞9$”，故B正确；对于C，$(-5)^{2}＞1^{2}$，但是$-5＜1$；同理$1＞-5$，但$1^{2}＜(-5)^{2}$，故“$x^{2}＞y^{2}$”是“$x＞y$”的既不充分又不必要条件，故C错误；对于D，$x^{2}-2x + m = 0$有解$\Leftrightarrow\Delta = 4 - 4m\geqslant0$，解得$m\leqslant1$，故D错误.

7. [2025 湖南长沙期末]已知两个命题：(1) 若$x ＞ 0$，则$2x + 1 ＞ 5$；(2) 若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等. 下列说法正确的是
(AB)

A.命题(2)是全称量词命题
B.命题(1)的否定为“存在$x ＞ 0$，$2x + 1 \leq 5$”
C.命题(2)的否定是“存在四边形不是等腰梯形，这个四边形的对角线不相等”
D.命题(1)和(2)的否定都是真命题

答案： 7. AB对于A，“若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等”等价于“对于任意一个等腰梯形而言，它的对角线都相等”，故A正确.对于B，命题
(1)的否定为“存在$x＞0$，$2x + 1\leqslant5$”，故B正确.对于C，命题
(2)的否定是“存在四边形是等腰梯形，这个四边形的对角线不相等”，故C错误.对于D，由于命题“若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等”是真命题，所以它的否定是假命题，故D错误.