《2025年小题狂做高中数学必修第一册苏教版》

1. 下列指数式与对数式互化正确的是
(C)

A.$10^0 = 1$与$\lg 0 = 1$
B.$27^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}$与$\log_{27}\frac{1}{3} = -3$
C.$\log_5 5 = 1$与$5^1 = 5$
D.$\ln N = \frac{1}{2}$与$N = (\frac{1}{2})^0$

答案： 1. C 依题意，由$a^{x}=N$得$x=\log$_________${a}N$.对于A，$10^{0}=1$，故$\lg 1=0$,故A错误；对于B，$27^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}$，则$\log$_________${27}\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}$,故B错误；对于C，$\log$_________${5}5=1$，则$5^{1}=5$，故C正确；对于D，$\ln N=\frac{1}{2}$，则$e^{\frac{1}{2}}=N$，故D错误.

2. 若$\log_a\sqrt{N} = b(a＞0,且a \neq 1)$,则下列等式正确的是
(A)

A.$N = a^{2b}$
B.$N = 2a^b$
C.$N = b^{2a}$
D.$N^2 = a^b$

答案： 2. A 由$\log$_________${a}\sqrt{N}=b$得$\sqrt{N}=a^{b}$，则$N=a^{2b}$.

3. 若$\log_a2 = m$,$\log_a5 = n$,则$a^{3m + n} =$
(D)

A.11
B.13
C.30
D.40

答案： 3. D 由题意$a^{m}=2$，$a^{n}=5$，则$a^{3m+n}=a^{3m}· a^{n}=40$.

4. 下列结论不正确的是
(D)

A.$\log_24 = 2$
B.$\log_2\frac{1}{4} = -2$
C.$3^{\log_32} = 2$
D.$-\ln e = 1$

答案： 4. D 对于A，$\log$_________${2}4=2$，A正确；对于B，$\log$_________${2}\frac{1}{4}=-2$，B正确；对于C，令$\log$_________${5}2=b$，可得$3^{b}=2$，即$3^{\log$_________${5}2}=2$，故C正确；对于D，$-\ln e=-1$，D错误.

5. 已知$a^{\frac{3}{2}} = \frac{4}{9}(a＞0)$,则$\log_2a$的值为
(C)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 5. C 由$a^{\frac{2}{3}}=\frac{4}{9}(a＞0)$，得$a=(\frac{4}{9})^{\frac{3}{2}}=(\frac{2}{3})^{3}$，所以$\log$_________${\frac{2}{3}}a=\log$_________${\frac{2}{3}}(\frac{2}{3})^{3}=3$.

6. 下列结论正确的是
(B)

A.$\lg(\lg 10) = 1$
B.$e^{\ln \pi} = \pi$
C.若$e = \ln x$,则$x = e^2$
D.$\ln(\lg 1) = 0$

答案： 6. B 对于A，$\lg (\lg 10)=\lg 1=0$，所以A错误；对于B，$e^{\ln \pi }=\pi$，所以B正确；对于C，由$e=\ln x$，得$x=e^{e}$，所以C错误；对于D，$\ln (\lg 1)=\ln 0$无意义，所以D错误.

7. 使对数式$\log_{2a - 2}(10 - 4a)$有意义的$a$的值可能是
(ACD)

A.2
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{5}{4}$
D.$\frac{7}{4}$

答案： 7. ACD 要使$\log$_________${2a-2}(10-4a)$有意义，则$\begin{cases} 2a-2＞0, \\ 2a-2\neq 1, \\ 10-4a＞0, \end{cases}$解得$1＜a＜\frac{3}{2}或\frac{3}{2}＜a＜\frac{5}{2}$.

8. 给出下列四个运算:①$\lg 1000 = 3$;②若$3^x = N(N＞0)$,则$x = \log_3N$;③$\lg(\ln e) = 1$;④$\lg(\ln 10) = 0$.其中正确的是
(AB)

A.①
B.②
C.③
D.④

答案： 8. AB 对于①，$\lg 1000=3\lg 10=3$，故①正确；对于②，由指数、对数互化知，若$3^{x}=N(N＞0)$，则$x=\log$_________${3}N$，故②正确；对于③，$\ln e=1$，所以$\lg (\ln e)=0$，故③错误；对于④，$\ln 10\neq 1$，所以$\lg (\ln 10)\neq 0$，故④错误.

9. 已知$2\log_3\frac{1}{a} + \log_3b = 0$,则下列等式一定正确的是
(BCD)

A.$(2^a)^2 = 2^b$
B.$a · e^{\ln a} = b$
C.$b = a^2$
D.$\log_2a = \log_8(ab)$

答案： 9. BCD 对于C，依题意，$-2\log$_________${3}a+\log$_________${3}b=0$，即$\log$_________${3}b=\log$_________${3}a^{2}$，则$b=a^{2}$且$a,b＞0$，故C正确；对于A，$(2^{a})^{2}=2^{2a}\neq 2^{b}$，故A错误；对于B，$a· e^{\ln a}=a^{2}=b$，故B正确；对于D，$\log$_________${8}ab=\log$_________${8}a^{3}$，令$\log$_________${8}a^{3}=t$，则$8^{t}=a^{3}$，从而$(2^{3})^{t}=a^{3}$，解得$2^{t}=a$，即$\log$_________${2}a=t$，故D正确.
方法总结 在研究对数的相关概念问题时，一方面要充分利用对数与指数之间的关系，另一方面要注意同底的对数相等，则它们的真数也相等.