《2025年小题狂做高中数学必修第一册苏教版》

10. 已知正数 a,b 满足 4/a+b=1,则 a+1/b 的最小值为9.

答案： 10.9 由正数$a,b$满足$\frac{4}{a}+b = 1$，则$a+\frac{1}{b}=(a+\frac{1}{b})(\frac{4}{a}+b)=5 + ab+\frac{4}{ab}\geqslant 5 + 2\sqrt{ab·\frac{4}{ab}}=9$，当且仅当$ab=\frac{4}{ab}$，
即$a = 6,b=\frac{1}{3}$时，等号成立，所以$a+\frac{1}{b}$的最小值为$9$.

11. 已知函数 f(x)=ax²+2x+b,其中 a＞b,若 f(x)≥0 对任意 x∈R 恒成立,且函数 f(x)存在零点,则 (a²+b²)/(a−b) 的最小值为2√2.

答案： 11.$2\sqrt{2}$ 根据题意，函数$f(x)=ax^{2}+2x + b$满足
$f(x)\geqslant 0$对任意$x\in\mathbf{R}$恒成立，且函数存在零点，必有$\Delta =4 - 4ab = 0$，则$ab = 1$，所以$\frac{a^{2}+b^{2}}{a - b}=\frac{(a - b)^{2}+2ab}{a - b}=(a - b)+\frac{2}{a - b}$.又由$a＞b$，得$(a - b)+\frac{2}{a - b}\geqslant 2\sqrt{\frac{2}{a - b}×(a - b)}=2\sqrt{2}$，当且仅当$a - b=\sqrt{2}$时等号成立，即$\frac{a^{2}+b^{2}}{a - b}$的最小值为
$2\sqrt{2}$.

12. [2025 云南昆明期末]如图,为满足居民健身需求,某小区计划在一块直角三角形空地中建一个内接矩形健身广场(阴影部分),则健身广场的最大面积为37.5 m².

答案： 12.37.5 设矩形广场的长为$x\mathrm{m}$，宽为$y\mathrm{m}$，且$0＜x＜15$，
$0＜y＜10$，由三角形相似得$\frac{x}{15}=\frac{10 - y}{10}$，化简得$2x + 3y = 30$，
而$2x + 3y\geqslant 2\sqrt{6xy}$，当且仅当$2x = 3y$，即$x = 7.5,y = 5$时，
等号成立，故$xy\leqslant 37.5$，故健身广场的最大面积为$37.5\mathrm{m}^{2}$.

13. [2025 广东广州铁一中学月考]已知函数 f(x)=(m+1)x²−(m−1)x+m−1.
(1) 当 m＜0 时,解关于 x 的不等式 f(x)≥3x+m−2;
(2) 若存在 x∈[0,2],使得不等式 f(x)≤x²+2x−1 成立,求实数 m 的取值范围.

答案： 13.解：
(1)$(m + 1)x^{2}-(m - 1)x + m - 1\geqslant 3x + m - 2$，即
$(m + 1)x^{2}-(m + 2)x + 1\geqslant 0$，即$(x - 1)[(m + 1)· x -1]\geqslant 0$.当$m + 1 = 0$，即$m = -1$时，上式可化为$x - 1\leqslant 0$，解
得$x\leqslant 1$.当$m + 1＜0$，即$-1＜m＜0$
时，上式可化为$(x - 1)(x-\frac{1}{m + 1})\geqslant 0$.因为$-1＜m＜0$，所
以$0＜m + 1＜1$，所以$\frac{1}{m + 1}＞1$，解得$x\leqslant 1$或$x\geqslant \frac{1}{m + 1}$.综
上，当$m＜-1$时，原不等式的解集为$[\frac{1}{m + 1},1]$；当
$m = -1$时，原不等式的解集为$(-\infty,1]$；当$-1＜m＜0$时，
原不等式的解集为$(-\infty,1]\cup[\frac{1}{m + 1},+\infty)$.
(2)不等式$f(x)\leqslant x^{2}+2x - 1$，即$(m + 1)x^{2}-(m - 1)x +m - 1\leqslant x^{2}+2x - 1$，即$m(x^{2}-x + 1)\leqslant x$.因为$x^{2}-x + 1＞0$恒成立，所以$m\leqslant \frac{x}{x^{2}-x + 1}$成立，所以$m\leqslant (\frac{x}{x^{2}-x + 1})_{max}$.设
$g(x)=\frac{x}{x^{2}-x + 1},x\in[0,2]$，当$x = 0$时，$g(0)=0$；当$0＜x\leqslant 2$时，$g(x)=\frac{x}{x^{2}-x + 1}=\frac{1}{x+\frac{1}{x}-1}$.因为$x+\frac{1}{x}\geqslant 2($当
且仅当$x = 1$时取等号$)$，所以$g(x)\leqslant 1$，所以$m\leqslant 1$.综上，$m$的取值范围是$(-\infty,1]$.
方法总结 求参数的取值范围问题，分离参数是常用的一种方
法.通常把参数表示出来，而后转化为恒成立或存在性问题，通
过求函数的值域来求解.

14. [2025 河南郑州期中]夏秋交替时节,某商家为了尽快清仓销货,决定对短袖衬衫 A 进行打折处理.经过市场调查发现,每个月 A 的销量 y(单位:件)与折扣 x(单位:折)之间的关系近似满足一次函数 y=240−20x.已知 A 的成本价为 50 元/件,原售价为 100 元/件,设销售 A 每月的总利润为 w(单位:元).
(1) 求 w 的最大值;
(2) 该商家将与 A 相同成本价的短袖 T 恤 B 按 60 元/件销售,若每销售 1 件 A 可销售 1 件 B,要求 A 与 B 的总利润不低于 3000 元,求 A 售价的最小值.

答案： 14.解：
(1)由题意得，销售每件短袖衬衫A的利润为$100×0.1x - 50 = 10x - 50($元$)$，
所以$w=(240 - 20x)(10x - 50)=-200x^{2}+3400x -12000=-200(x-\frac{17}{2})^{2}+2450\leqslant 2450$，
当$x=\frac{17}{2}$时，$w$取到最大值，最大值为$2450$元.
(2)设销售A与B的总利润为$v$元，
则$v=-200x^{2}+3400x - 12000 + 10(240 - 20x)=-200x^{2}+3200x - 9600\geqslant 3000$，
得$x^{2}-16x + 63=(x - 7)(x - 9)\leqslant 0$，则$7\leqslant x\leqslant 9$.
故打七折时，A售价最便宜，A售价的最小值为$100× 0.7 =70$元/件.

1. [2023 新高考 Ⅰ 卷，1]已知集合 $ M = \{ -2, -1, 0, 1, 2 \} $，$ N = \{ x \mid x^2 - x - 6 \geq 0 \} $，则 $ M \cap N = $
(C)

A.$ \{ -2, -1, 0, 1 \} $
B.$ \{ 0, 1, 2 \} $
C.$ \{ -2 \} $
D.$ \{ 2 \} $

答案： 1. C 解法1 因为$N = \{ x \mid x^{2} - x - 6 \geq 0 \} = ( - \infty, - 2\rbrack \cup \lbrack 3, + \infty)$，而$M = \{ - 2, - 1,0,1,2\}$，所以$M \cap N = \{ - 2\}$。
解法2 因为$M = \{ - 2, - 1,0,1,2\}$，将$- 2, - 1,0,1,2$代入不等式$x^{2} - x - 6 \geq 0$，只有$- 2$使不等式成立，所以$M \cap N = \{ - 2\}$。

2. [多选题，2022 新高考 Ⅱ 卷，12]若 $ x, y $ 满足 $ x^2 + y^2 - xy = 1 $，则
(BC)

A.$ x + y \leq 1 $
B.$ x + y \geq -2 $
C.$ x^2 + y^2 \leq 2 $
D.$ x^2 + y^2 \geq 1 $
答案 P19

答案： 2. BC 因为$ab \leq ( \frac{a + b}{2} )^{2} \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2} (a,b \in \mathbf{R})，$由$x^{2} + y^{2} - xy = 1$可变形为$(x + y)^{2} - 1 = 3xy \leq 3( \frac{x + y}{2} )^{2}，$解得$- 2 \leq x + y \leq 2，$当且仅当x = y = - 1时，x + y = - 2，当且仅当x = y = 1时，x + y = 2，所以A错误，B正确；由$x^{2} + ![img alt=2-1($图片属于第2题的第一张小图)]
$y^{2} - xy = 1$可变形为$(x^{2} + y^{2}) - 1 = xy \leq \frac{x^{2} + y^{2}}{2}，$解得$x^{2} + y^{2} \leq 2，$当且仅当$x = y = \pm 1$时，等号成立，所以C正确；由$x^{2} + y^{2} - xy = 1$可变形为$(x^{2} + y^{2}) - 1 = xy \geq - \frac{x^{2} + y^{2}}{2}，$解得$x^{2} + y^{2} \geq \frac{2}{3}，$当且仅当$x = - y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$时，等号成立，所以D错误.