《2025年小题狂做高中数学必修第一册苏教版》

1. 若 lg x = lg a + 3lg b - 5lg c，则 (A)

A.x = $\frac{ab^3}{c^5}$
B.x = $\frac{3ab}{5c}$
C.x = a + 3b - 5c
D.x = a + b³ - c³

答案： 1．A $\lg a + 3\lg b - 5\lg c = \lg a + \lg b^3 - \lg c^5 = \lg \frac{ab^3}{c^5}$，由$\lg x = \lg \frac{ab^3}{c^5}$，可得$x = \frac{ab^3}{c^5}$．

2. 若 lg a，lg b 是方程 5x² - 10x + 3 = 0 的两个实根，则 ab 的值等于 (C)

A.2
B.$\frac{1}{2}$
C.100
D.√10

答案： 2．C 由根与系数的关系可得，$\lg a + \lg b = 2$，所以$\lg(ab) = \lg a + \lg b = 2$，所以$ab = 10^2 = 100$．

3. 计算 $log_3\frac{\sqrt[3]{27}}{3}$ + lg 25 + lg 4 + 7$^{log_72}$ 的值为 (D)

A.- $\frac{1}{4}$
B.4
C.- $\frac{15}{4}$
D.$\frac{15}{4}$

答案： 3．D 原式$ = \log_3 \sqrt[4]{27} - \log_3 3 + \lg 5^2 + \lg 2^2 + 2 = \frac{1}{4}\log_3 3^3 - 1 + 2\lg 5 + 2\lg 2 + 2 = \frac{15}{4}$．

4. 已知 2^x = 3，log_4$\frac{8}{3}$ = y，则 x + 2y = (A)

A.3
B.8
C.4
$D.log_48$

答案： 4．A 由题意得$x = \log_2 3$，所以$x + 2y = \log_2 3 + 2\log_4 \frac{8}{3} = \log_2 3 + \log_2 \frac{8}{3} = \log_2 8 = 3$．

5. (易错易混)若 2lg(x - 2y) = lg x + lg y，则 x，y 的关系式是 (C)

A.x = y
B.x = 2y
C.x = 4y
D.x = y 或 x = 4y

答案： 5．C 由题设得$(x - 2y)^2 = xy$，即$x^2 - 5xy + 4y^2 = 0$，即$(x - y)(x - 4y) = 0$，所以$x = y$或$x = 4y$．由对数定义知$x ＞ 0, y ＞ 0, x - 2y ＞ 0$，所以只能是$x = 4y$．

6. 利用对数运算可以求大数的位数，已知 lg 5 = 0.699，则$ 2^31 $是 (B)

A.9 位数
B.10 位数
C.11 位数
D.12 位数

答案： 6．B 记$2^{31} = M$，则$31 × \lg 2 = \lg M$，所以$\lg M = 31 × (1 - \lg 5) = 9.331$，则$M = 10^{9.331} \in (10^9, 10^{10})$，故$2^{31}$是$10$位数．
方法总结 在计算与$\lg 2, \lg 5$有关的对数问题时，要注意充分应用$\lg 2 + \lg 5 = 1$来简化问题．

7. 下列等式不成立的是 (ABD)

A.log₂(8 - 4) = log₂8 - log₂4
B.$\frac{log_28}{log_24}$ = log₂$\frac{8}{4}$
C.log₂8 = 3log₂2
D.log₂(8 + 4) = log₂8 + log₂4

答案： 7．ABD 对于A，因为$\log_2(8 - 4) = \log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$，$\log_2 8 - \log_2 4 = \log_2 2^3 - \log_2 2^2 = 3 - 2 = 1$，所以$\log_2(8 -4) \neq \log_2 8 - \log_2 4$，所以A错误；对于B，因为$\frac{\log_2 8}{\log_4 4} · \frac{\log_2 2^3}{\log_2 2^2} = \frac{3}{2}$，$\log_2 \frac{8}{4} = \log_2 2 = 1$，所以$\frac{\log_2 8}{\log_4 4} \neq \log_2 \frac{8}{4}$，所以B错误；对于C，因为$\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3\log_2 2$，所以C正确；对于D，因为$\log_2(8 + 4) = \log_2 12 = \log_2 3 + \log_2 4 = \log_2 3 + 2$，$\log_2 8 + \log_2 4 = \log_2 2^3 + \log_2 2^2 = 3 + 2 = 5$，所以$\log_2(8 + 4) \neq \log_2 8 + \log_2 4$，所以D错误．

8. 16，17 世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当时急需解决的事，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数. 直到 18 世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即 a^b = N ⇔ b = log_aN. 现在已知$ a = log_48，$$b = log_24，$则下列结论正确的是 (AC)

A.4^a = 8
B.4^b = 2
C.a + b = $\frac{7}{2}$
D.a + b = $\frac{5}{2}$

答案： 8．AC 因为$a = \log_4 8, b = \log_2 4$，所以$4^a = 8, b = 2$，$a + b = \log_2 2^3 + 2 = \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2}$．

9. 已知实数 a，b 满足 lg(3a) + lg b = lg(2a + b)，则 a + 2b 的可能取值是 (ABD)

A.9
B.3
C.2
D.6

答案： 9．ABD 由$\lg(3a) + \lg b = \lg(2a + b)$得$3ab = 2a + b$，变形得$\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 3$．因为$(\frac{1}{a} + \frac{2}{b})(a + 2b) = 5 + \frac{2b}{a} + \frac{2a}{b} \geq 5 + 2\sqrt{\frac{2b}{a} · \frac{2a}{b}} = 9$，当且仅当$\frac{2b}{a} = \frac{2a}{b}$，即$a = b = 1$时，等号成立，所以$a + 2b \geq 3$．

10. 计算：$log_3060 - log_302 + 2log_832 =$$\frac{13}{3}$.

答案： 10．$\frac{13}{3}$ 原式$ = \log_{30} \frac{60}{2} + 2\log_3 2^5 = \log_{30} 30 + \frac{2 × 5}{\3} \log_2 2 = 1 + \frac{10}{3} = \frac{13}{3}$．