《2025年小题狂做高中数学必修第一册苏教版》

6. 已知函数$f(x) = A\sin(\omega x + \varphi)(A ＞ 0,\omega ＞ 0,|\varphi| ＜ \pi)$的部分图象如图所示,将$f(x)$的图象向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度得函数$y = g(x)$的图象,若$g(x) = \frac{1}{2}$在$(0,\pi)$上有两个不同的根$x_1,x_2$,则$\sin(x_1 + x_2)$的值为 (A)


A.$\frac{1}{2}$
B.0
C.1
D.$\frac{1}{2}$或$- \frac{1}{2}$

答案： 6.A 设f(x)的最小正周期为T，由图象可知A = 2，$\frac{3}{4}$T = $\frac{7π}{12}$+$\frac{π}{6}$ = $\frac{3π}{4}$，所以T = π，则ω = 2，所以f(x)=2sin(2x+φ).又f(x)的图象过点($\frac{7π}{12}$,2)，所以2×$\frac{7π}{12}$+φ = $\frac{π}{2}$+2kπ，所以φ = −$\frac{2π}{3}$+2kπ，k∈Z.又|φ|＜π，所以φ = −$\frac{2π}{3}$，即f(x)=2sin(2x−$\frac{2π}{3}$)，则g(x)=2sin(2x−$\frac{π}{3}$).由2sin(2x−$\frac{π}{3}$) = $\frac{1}{2}$，得sin(2x−$\frac{π}{3}$) = $\frac{1}{4}$，则sin(2x₁−$\frac{π}{3}$)=sin(2x₂−$\frac{π}{3}$) = $\frac{1}{4}$.又当x∈(0,π)时，2x−$\frac{π}{3}$∈(−$\frac{π}{3}$,$\frac{5π}{3}$)，所以$\frac{2x₁−\frac{π}{3}+2x₂−\frac{π}{3}}{2}$ = $\frac{π}{2}$，得x₁+x₂ = $\frac{5π}{6}$，所以sin(x₁+x₂) = $\frac{1}{2}$.

7. 有下列四种变换方式,其中能将正弦函数$y = \sin x$的图象变为$y = \sin(2x + \frac{\pi}{4})$的图象的是 (BC)

A.将图象上的点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$,再将图象向左平移$\frac{\pi}{4}$个单位长度
B.将图象上的点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$,再将图象向左平移$\frac{\pi}{8}$个单位长度
C.将图象向左平移$\frac{\pi}{4}$个单位长度,再将图象上的点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$
D.将图象向左平移$\frac{\pi}{8}$个单位长度,再将图象上的点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$

答案： 7.BC 将y = sin x图象上的点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$，再将图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位长度，得y = sin[2(x+$\frac{π}{4}$)] = sin(2x+$\frac{π}{2}$)的图象，故A错误；将y = sin x图象上的点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$，再将图象向左平移$\frac{π}{8}$个单位长度，得y = sin[2(x+$\frac{π}{8}$)] = sin(2x+$\frac{π}{4}$)的图象，故B正确；将y = sin x的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位长度，再将图象上的点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$，得y = sin(2x+$\frac{π}{4}$)的图象，故C正确；将y = sin x的图象向左平移$\frac{π}{8}$个单位长度，再将图象上的点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$，得y = sin(2x+$\frac{π}{8}$)的图象，故D错误.

8. 将函数$f(x) = \sin\omega x$的图象向右平移$\varphi(\varphi ＞ 0)$个单位长度,得到函数$g(x)$的图象.若这两函数图象的对称轴都相同,则下列结论一定正确的是 (BC)

A.$|\varphi\omega| = 2k\pi + \frac{\pi}{2},k \in \mathbf{N}^*$
B.$|\varphi\omega| = k\pi,k \in \mathbf{N}^*$
C.$f(x)$与$g(x)$的零点相同
D.$f(x)$与$g(x)$的增区间相同

答案： 8.BC 对于A，g(x)=sin(ωx - ωφ)，函数f(x)图象的对称轴满足ωx = k₁π+$\frac{π}{2}$，k₁∈Z，函数g(x)图象的对称轴满足ωx - ωφ = k₂π+$\frac{π}{2}$，k₂∈Z，两式相减得ωφ=(k₁ - k₂)π，k₁，k₂∈Z，因此|ω| = |k|，k∈Z*，A错误，B正确；对于C，g(x)=sin(ωx±kπ)=±f(x)，因此f(x)与g(x)的零点相同，C正确；对于D，取ω = 1，φ = π，函数f(x)的增区间为[−$\frac{π}{2}$+2kπ,$\frac{π}{2}$+2kπ](k∈Z)，函数g(x)的增区间为[$\frac{π}{2}$+2kπ,$\frac{3π}{2}$+2kπ](k∈Z)，D错误.

9. 已知将函数$f(x) = \sin2x$的图象向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度,然后将图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变),再向上平移1个单位长度,得到函数$g(x)$的图象,则下列说法正确的是 (BC)

A.函数$g(x)$的最大值是2
B.函数$g(x)$在$( - \frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12})$上单调递增
C.函数$g(x)$的图象可由函数$y = 2\cos2x + 1$的图象向右平移$\frac{5\pi}{12}$个单位长度得到
D.若关于$x$的方程$g(x) - m = 0$在区间$(\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{2})$上有两个不同的实根,则$m \in [\sqrt{3} + 1,3)$

答案： 9.BC 函数f(x)=sin 2x的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度，得到y = sin[2(x−$\frac{π}{6}$)] = sin(2x−$\frac{π}{3}$)，再将图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，得到y = 2sin(2x−$\frac{π}{3}$)，再向上平移1个单位长度，得到g(x)=2sin(2x−$\frac{π}{3}$)+1.对于A，g(x)的最大值为3，故A错误；对于B，若x∈(−$\frac{π}{12}$,$\frac{5π}{12}$)，则2x−$\frac{π}{3}$∈(−$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$)，所以函数g(x)在(−$\frac{π}{12}$,$\frac{5π}{12}$)上单调递增，故B正确；对于C，函数y = 2cos 2x+1的图象向右平移$\frac{5π}{12}$个单位长度，得到y = 2cos[2(x−$\frac{5π}{12}$)]+1 = 2cos(2x−$\frac{5π}{6}$)+1 = 2cos(2x−$\frac{5π}{6}$−$\frac{π}{2}$)+1 = 2sin(2x−$\frac{π}{3}$)+1，故C正确；对于D，若x∈($\frac{π}{12}$,$\frac{π}{2}$)，则2x−$\frac{π}{3}$∈(−$\frac{π}{6}$,$\frac{2π}{3}$)，若m = $\sqrt{3}$+1，由g(x) - m = 2sin(2x−$\frac{π}{3}$)+1−($\sqrt{3}$+1)=2sin(2x−$\frac{π}{3}$)−$\sqrt{3}$ = 0，所以sin(2x−$\frac{π}{3}$) = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以2x−$\frac{π}{3}$ = $\frac{π}{3}$，解得x = $\frac{π}{3}$，只有唯一解，不符合题意，故D错误.