《2025年新课程学习与测评单元双测九年级数学全一册人教版》

17. （每小题4分，共8分）
（1）解方程：$3x^{2}-4x - 5 = 0$.
（2）已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(2k - 3)x + k^{2}=0$有实数根，求$k$的取值范围.

答案： 17.
(1)解：$a = 3$，$b = - 4$，$c = - 5$.$\Delta = ( - 4 ) ^ { 2 } - 4 × 3 × ( - 5 ) = 76 ＞ 0$.方程有两个不等的实数根$x = \frac { 4 \pm 2 \sqrt { 19 } } { 6 }$，即$x _ { 1 } = \frac { 2 + \sqrt { 19 } } { 3 }$，$x _ { 2 } = \frac { 2 - \sqrt { 19 } } { 3 }$.
(2)解：根据题意，得$\Delta = [ - ( 2 k - 3 ) ] ^ { 2 } - 4 k ^ { 2 } \geqslant 0$.解得$k \leqslant \frac { 3 } { 4 }$.故$k$的取值范围为$k \leqslant \frac { 3 } { 4 }$.

18. （10分）如图10，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 100^{\circ}$，$\angle ABC = 30^{\circ}$，将$\triangle ABC$绕点$B$逆时针旋转$50^{\circ}$后得到$\triangle A_{1}BC_{1}$.求证：$A_{1}C_{1}// BC$.

答案： 18.证明：因为$\angle A = 100 ^ { \circ }$，$\angle ABC = 30 ^ { \circ }$，所以$\angle C = 180 ^ { \circ } - \angle A - \angle ABC = 50 ^ { \circ }$.由旋转的性质，得$\angle CBC _ { 1 } = 50 ^ { \circ }$，$\angle C _ { 1 } = \angle C = 50 ^ { \circ }$.所以$\angle CBC _ { 1 } = \angle C _ { 1 }$，所以$A _ { 1 } C _ { 1 } // BC$.

19. （10分）在一个不透明的袋子中有1个黑球和2个白球（除颜色外其他均相同）.用画树状图或列表的方法解答下列问题：
（1）小丽第一次从袋子中摸出1个球不放回，第二次又从袋子中摸出1个球.小丽两次都摸到白球的概率是多少？
（2）小强第一次从袋子中摸出1个球，摸到黑球不放回，摸到白球放回；第二次又从袋子中摸出1个球.小强两次都摸到白球的概率是多少？

答案：
19.解：
(1)画树状图如图31.

由树状图可知，共有6种等可能的结果，两次都摸到白球的结果有2种，所以$P ( 两次都摸到白球 ) = \frac { 2 } { 6 } = \frac { 1 } { 3 }$.
(2)画树状图如图32.

由树状图可知，共有8种等可能的结果，两次都摸到白球的结果有4种，所以$P ( 两次都摸到白球 ) = \frac { 4 } { 8 } = \frac { 1 } { 2 }$.

20. （10分）如图11，抛物线$y = ax^{2}+bx + c$过点$A(-1,0)$，$B(3,0)$，$M(\frac{3}{2},\frac{15}{4})$，与$y$轴交于点$C$.
（1）求抛物线对应的函数的解析式.
（2）点$P$为抛物线对称轴上的动点，当$\triangle PCB$是以$BC$为底边的等腰三角形时，求点$P$的坐标.

答案： 20.解：
(1)由抛物线过点$A ( - 1 , 0 )$，$B ( 3 , 0 )$，设抛物线对应的函数的解析式为$y = a ( x + 1 ) ( x - 3 )$.将点$M ( \frac { 3 } { 2 } , \frac { 15 } { 4 } )$代入，得$- \frac { 15 } { 4 } a = \frac { 15 } { 4 }$.解得$a = - 1$.故抛物线对应的函数的解析式为$y = - ( x + 1 ) ( x - 3 )$，即$y = - x ^ { 2 } + 2 x + 3$.
(2)由
(1)可得该抛物线的对称轴为直线$x = - \frac { 2 } { 2 × ( - 1 ) } = 1$.令$x = 0$，得$y = 3$.故点C的坐标为$( 0 , 3 )$.设点P的坐标为$( 1 , m )$.因为$PB = PC$，所以$PB ^ { 2 } = PC ^ { 2 }$，即$( 3 - 1 ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } = 1 ^ { 2 } + ( m - 3 ) ^ { 2 }$.解得$m = 1$.所以点P的坐标为$( 1 , 1 )$.

21. （10分）如图12，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，以$AC$为直径作$\odot O$交$BC$于点$D$，连接$AD$，过点$D$作$DE\perp AB$，垂足为点$E$，延长$BA$交$\odot O$于点$F$.
（1）求证：$DE$是$\odot O$的切线.
（2）已知$\frac{AE}{DE}=\frac{2}{3}$，$AF = 10$，求$\odot O$的半径.

答案：
21.
(1)证明：如图33，连接OD.因为$AB = AC$，所以$\angle B = \angle C$.因为$OD = OC$，所以$\angle CDO = \angle C$.所以$\angle CDO = \angle B$，所以$AB // OD$.因为$DE \perp AB$，所以$DE \perp OD$.又OD是$\odot O$的半径，所以$DE$是$\odot O$的切线.
(2)解：如图33，过点O作$OG \perp AF$于点G，则$\angle OGA = 90 ^ { \circ }$，$AG = GF = \frac { 1 } { 2 } AF = 5$.由
(1)知$\angle DEA = \angle ODE = 90 ^ { \circ }$，所以四边形$EDOG$为矩形.所以$OD = EG$，$OG = DE$.由$\frac { AE } { DE } = \frac { 2 } { 3 }$，可设$AE = 2x$，$DE = 3x$.所以$EG = 2x + 5$，$OG = DE = 3x$.所以$OA = OD = EG = 2x + 5$.在$Rt \triangle OAG$中，$OA ^ { 2 } = OG ^ { 2 } + AG ^ { 2 }$，即$( 2 x + 5 ) ^ { 2 } = ( 3 x ) ^ { 2 } + 5 ^ { 2 }$.解得$x _ { 1 } = 4$，$x _ { 2 } = 0$（舍去）.所以$OA = 2x + 5 = 13$.故$\odot O$的半径是13.

22. (12分)综合与实践
【问题情境】
跳台滑雪可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如图13中实线部分所示).落地点在着陆坡(如图13中虚线部分所示)上，着陆坡上的基准点$K$为飞行距离计分的参照点，落地点超过点$K$越远，飞行距离分越高.某个跳台滑雪训练场的起跳台的高度$OA$为66m，基准点$K$到起跳台的水平距离为75m，高度为$h$m($h$为定值).设运动员从起跳点$A$起跳后的高度$y$(m)与水平距离$x$(m)之间的函数关系为$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$.
【初步探究】
(1)$c$的值为66.
(2)①当运动员落地点恰好为点$K$时，$a = -\frac{1}{50}$，$b = \frac{9}{10}$，求基准点$K$的高度$h$.
②当$a = -\frac{1}{50}$，运动员落地点超过点$K$时，求$b$的取值范围.
【问题情境】
(3)当运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过点$K$，并说明理由.

答案： 22.解：
(1)66 提示：把$A ( 0 , 66 )$代入$y = a x ^ { 2 } + b x + c$，得$c = 66$.
(2)①把$a = - \frac { 1 } { 50 }$，$b = \frac { 9 } { 10 }$，$c = 66$代入$y = a x ^ { 2 } + b x + c$，得$y = - \frac { 1 } { 50 } x ^ { 2 } + \frac { 9 } { 10 } x + 66$.把$x = 75$代入$y = - \frac { 1 } { 50 } x ^ { 2 } + \frac { 9 } { 10 } x + 66$，得$y = - \frac { 1 } { 50 } × 75 ^ { 2 } + \frac { 9 } { 10 } × 75 + 66 = 21$.故基准点K的高度$h = 21m$. ②因为$a = - \frac { 1 } { 50 }$，所以$y = - \frac { 1 } { 50 } x ^ { 2 } + b x + 66$.因为运动员落地点超过点K，所以当$x = 75$时，$y ＞ 21$，即$- \frac { 1 } { 50 } × 75 ^ { 2 } + 75 b + 66 ＞ 21$.解得$b ＞ \frac { 9 } { 10 }$.故$b$的取值范围为$b ＞ \frac { 9 } { 10 }$.
(3)他的落地点能超过点K.理由：因为运动员飞行的水平距离为$25m$时，恰好达到最大高度$76m$，所以抛物线的顶点为$( 25 , 76 )$.设抛物线对应的函数解析式为$y = m ( x - 25 ) ^ { 2 } + 76$，把$( 0 , 66 )$代入，得$66 = m ( 0 - 25 ) ^ { 2 } + 76$.解得$m = - \frac { 2 } { 125 }$.所以抛物线对应的函数的解析式为$y = - \frac { 2 } { 125 } ( x - 25 ) ^ { 2 } + 76$.当$x = 75$时，$y = - \frac { 2 } { 125 } × ( 75 - 25 ) ^ { 2 } + 76 = 36$.因为$36 ＞ 21$，所以他的落地点能超过点K.