《2025年新课程学习与测评单元双测九年级数学全一册人教版》

附加题（20 分）

答案： 答案略

18. 实践与探究
【数学实践】
如图 14，直线 $l_{1}// l_{2}$，$\triangle ABC$ 与 $\triangle DBC$ 的面积相等吗？为什么？
解：相等，理由如下.
设 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为 $h$，则 $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot h$，$S_{\triangle DBC}=\frac{1}{2}BC\cdot h$. 所以 $S_{\triangle ABC}=S_{\triangle DBC}$.
【初步探究】
(1)如图 15，当点 $D$ 在 $l_{1}$，$l_{2}$ 之间时，设点 $A$，$D$ 到直线 $l_{2}$ 的距离分别为 $h$，$h'$，求证：$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DBC}}=\frac{h}{h'}$. 请将下面的证明过程补充完整.
证明：因为 $S_{\triangle ABC}=$$\frac{1}{2}BC · h$，$S_{\triangle DBC}=$$\frac{1}{2}BC · h^\prime$，
所以$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DBC}} = \frac{h}{h^\prime}$.
【深入探究】
(2)如图 16，当点 $D$ 在 $l_{1}$，$l_{2}$ 之间时，连接 $AD$ 并延长，交 $l_{2}$ 于点 $M$，则 $\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DBC}}=\frac{AM}{DM}$. 请你证明这个结论.
(3)如图 17，当点 $D$ 在 $l_{2}$ 下方时，连接 $AD$ 交 $l_{2}$ 于点 $E$. 已知 $AD = 5$，$ED = 1.5$，求 $\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DBC}}$ 的值.

答案： 18.
(1)$\frac{1}{2}BC · h$ $\frac{1}{2}BC · h^\prime$ $\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DBC}} = \frac{h}{h^\prime}$
(2) 证明：如图39，过点A作AE ⊥ BM于点E，过点D作DF ⊥ BM于点F，则∠AEM = ∠DFM = 90°. 所以AE//DF. 所以△AEM ∽ △DFM. 所以$\frac{AE}{DF} = \frac{AM}{DM}$. 由
(1)可知$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DBC}} = \frac{AE}{DF}$，所以$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DBC}} = \frac{AM}{DM}$.
(3) 解：如图40，过点A作AM ⊥ BC于点M，过点D作DN ⊥ BC的延长线于点N，则∠AME = ∠DNE = 90°. 所以AM//DN. 所以△AME ∽ △DNE. 所以$\frac{AM}{DN} = \frac{AE}{DE}$. 因为AD = 5，ED = 1.5，所以AE = 5 - 1.5 = 3.5，DE = 1.5. 所以$\frac{AM}{DN} = \frac{AE}{DE} = \frac{3.5}{1.5} = \frac{7}{3}$. 又$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}BC · AM$，$S_{\triangle DBC} = \frac{1}{2}BC · DN$，所以$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DBC}} = \frac{AM}{DN} = \frac{7}{3}$.