《2025年新课程学习与测评单元双测九年级数学全一册人教版》

16. （14分）如图13，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，$BC = 4$，以$BC$为直径的半圆$O$交斜边$AB$于点$D$，连接$OD$，$CD$.
（1）求$\overset{\frown}{BD}$的长.（结果保留$\pi$）
（2）求阴影部分的面积.（结果保留$\pi$）

答案： 16.解:
(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,所以∠B=60°.又OB=OD,所以△BOD是等边三角形.所以∠BOD=60°.由直径BC=4,得OB=2.所以$\overset{\frown}{BD}$的长为$\frac{60π×2}{180}=\frac{2π}{3}$.
(2)由∠BOD=60°,得∠COD=120°.因为BC是⊙O的直径,所以∠BDC=90°.又因为∠B=60°,所以∠DCB=30°.所以DB=$\frac{1}{2}$BC=2.所以DC=$\sqrt{BC^{2}-BD^{2}}=2\sqrt{3}$.所以$S_{△COD}=S_{△BOD}=\frac{1}{2}S_{△BDC}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$.故$S_{阴影}=S_{扇形OCD}-S_{△COD}=\frac{120π×2^{2}}{360}-\sqrt{3}=\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$.

17. （16分）如图14，$AC$是$\odot O$的直径，点$D$是$\odot O$上一点，$\angle A = 30^{\circ}$，$DB$交$AC$的延长线于点$B$，且$DA = DB$.
（1）求证：$BD$为$\odot O$的切线.
（2）已知$BC = \sqrt{3}$，求$AD$的长.

答案： 17.
(1)证明:连接OD.因为DA=DB,∠A=30°,所以∠B=∠A=30°.由圆周角定理，得∠COD=2∠A=2×30°=60°.所以∠ODB=180°−∠B−∠COD=90°,即BD⊥OD.因为OD是⊙O的半径，所以BD为⊙O的切线.
(2)解:连接CD.因为AC是⊙O的直径，所以∠ADC=90°.因为∠A=30°,所以∠ACD=60°,AC=2CD.因为∠B=∠A=30°,所以∠CDB=∠ACD−∠B=30°,即∠B=∠CDB.所以CD=BC=$\sqrt{3}$.所以AC=$2\sqrt{3}$.由勾股定理，得AD=$\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=3$.