《2025年新课程学习与测评单元双测九年级数学全一册人教版》

16.（14 分）如图 9，在△ABC 中，∠C = 90°，DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F，DF 交 AB 于点 H. 求证：△DEH∽△BCA.

答案： 16.证明：因为$DE \perp AB$，$DF \perp BC$，所以$\angle D + \angle DHE = \angle B + \angle BHF = 90^{\circ}$.又$\angle DHE = \angle BHF$，所以$\angle D = \angle B$.又$\angle DEH = \angle C = 90^{\circ}$，所以$\triangle DEH \backsim \triangle BCA$.

17.（16 分）如图 10，在△ABC 中，AD 是角平分线，点 E 在边 AC 上，且 $ AD^2 = AE \cdot AB $，连接 DE.
（1）求证：△ABD∽△ADE.
（2）已知 CD = 3，CE = $ \frac{9}{4} $，求 AC 的长.

答案： 17.
(1)证明：因为$AD$是$\angle BAC$的平分线，所以$\angle BAD = \angle DAE$.因为$AD^{2}=AE \cdot AB$，所以$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AD}$.所以$\triangle ABD \backsim \triangle ADE$.
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