《2025年新课程学习与测评单元双测九年级数学全一册人教版》

15. （每小题7分，共14分）
(1) 计算：$\tan 45^{\circ} + 2\sqrt{3} \cos 30^{\circ}$.
(2) 在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，$\angle C = 90^{\circ}$，$b = 10$，$\angle B = 60^{\circ}$.求$\angle A$，$a$，$c$.

答案： 15.
(1)原式 $= 1 + 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + 3 = 4$.
(2)$\angle A = 90° - \angle B = 90° - 60° = 30°$,$a = \frac{b}{\tan B} = \frac{10}{\tan 60°} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$,$c = \frac{b}{\sin B} = \frac{10}{\sin 60°} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$.

16. （14分）如图11，将一副三角尺直角顶点重合拼放在一起，点$B$，$C$，$E$在同一直线上.已知含$45^{\circ}$角的三角尺的斜边与含$30^{\circ}$角的三角尺的长直角边相等（即$EF = AC$），$BC = 2$，求$AF$的长.

答案： 16. 解：在 $Rt \triangle ABC$ 中，$BC = 2$，$\angle A = 30°$，$\tan A = \frac{BC}{AC}$，所以 $AC = \frac{BC}{\tan A} = \frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 2\sqrt{3}$.在 $Rt \triangle EFC$ 中，$EF = AC = 2\sqrt{3}$，$\angle E = 45°$,$\sin E = \frac{FC}{EF}$，所以 $FC = EF \cdot \sin E = 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{6}$.所以 $AF = AC - FC = 2\sqrt{3} - \sqrt{6}$.

17. （16分）如图12，斜坡$AP$的坡度为$1:2.4$，坡长$AP$为$260\ \mathrm{m}$，在坡顶$A$处的同一水平面有一座古塔$BC$，在坡底$P$处测得该塔的塔顶$B$的仰角为$45^{\circ}$，在坡顶$A$处测得该塔的塔顶$B$的仰角为$76^{\circ}$.
(1) 求坡顶$A$到地面$PO$的距离.
(2) 求古塔$BC$的高度（结果精确到1 m）.
（参考数据：$\sin 76^{\circ} \approx 0.97$，$\cos 76^{\circ} \approx 0.24$，$\tan 76^{\circ} \approx 4.01$）

答案： 17.
(1)过点 $A$ 作 $AH \perp PO$ 于点 $H$.因为斜坡 $AP$ 的坡度为 $1 : 2.4$，所以 $\frac{AH}{PH} = \frac{1}{2.4} = \frac{5}{12}$.设 $AH = 5x$，则 $PH = 12x$. 由勾股定理，得 $AP = \sqrt{AH^{2} + PH^{2}} = 13x$.又 $AP = 260 m$，所以 $13x = 260$.解得 $x = 20$.所以 $AH = 100 m$.故坡顶 $A$ 到地面 $PO$ 的距离为 $100 m$.
(2)由
(1)得，$PH = 240 m$.延长 $BC$ 交 $PO$ 于点 $D$，则 $CD = AH = 100 m$,$AC = DH$.在 $Rt \triangle BPD$ 中，$\angle BPD = 45°$，则 $BD = PD$，即 $BC + 100 = 240 + DH$. 所以 $AC = DH = BC - 140$.在 $Rt \triangle ABC$ 中，$\angle BAC = 76°$，则 $\tan 76° = \frac{BC}{AC} = \frac{BC}{BC - 140}$.所以 $BC = \frac{140 × \tan 76°}{\tan 76° - 1} \approx \frac{140 × 4.01}{4.01 - 1} \approx 187(m)$.故古塔 $BC$ 的高度约为 $187 m$.