《2025年新课程学习与测评单元双测九年级数学全一册人教版》

18. 综合与探究
【问题背景】小初同学在学习圆周角时，了解到圆内接四边形的对角互补.
(1)如图16，点A，B，C，D均为⊙O上的点，∠ABC=85°，则有∠ADC=95°.
【问题探究】如图17，点A，B，C，D均为⊙O上的点，AB=BC，点D为弧AC上任意一点(点D不与点A，C重合).爱思考的小初同学发现：若点D在运动的过程中始终保持BD=AD+CD，则∠ABC的度数恒为60°.下面是小初的证明过程：
证明：如图17，延长DC至点E，使CE=AD，连接BE.
因为四边形ABCD为⊙O的内接四边形，所以∠BAD+∠BCD=180°.
又因为∠BCD+∠BCE=180°，所以∠BAD=∠BCE.
又因为DA=EC，AB=CB，所以△DAB≌△ECB(SAS).
……
(2)请你补全缺失的证明过程.
【结论应用】
(3)如图18，点A，B，C，D均为⊙O上的点，AB=BC，点D为$\overset{\frown}{AC}$上任意一点(点D不与点A，C重合)，且$\sqrt{2}$BD=AD+DC，⊙O的半径为2.在点D运动的过程中，求四边形ABCD的周长的最大值.

答案： 18.解：
(1)95
(2)因为△DAB≌△ECB，所以BE=BD,∠EBC=∠DBA.因为CE=AD,ED=CD+CE,BD=AD+CD，所以ED=BD=BE.所以△EDB为等边三角形.所以∠EBD=60°.因为∠EBD=∠EBC+∠CBD，∠ABC=∠DBA+∠CBD，所以∠ABC=∠EBD=60°.
(3)如图23，延长DC至点E，使CE=AD，连接BE,AC.同理可证△DAB≌△ECB(SAS)，所以BE=BD，∠EBC=∠DBA.因为$\sqrt{2}BD=AD+DC$，所以$\sqrt{2}BD=CE+DC=DE$.所以$DE^{2}=2BD^{2}=BD^{2}+BE^{2}$.所以∠DBE=90°.因为∠EBD=∠EBC+∠CBD，∠ABC=∠DBA+∠CBD，所以∠ABC=∠EBD=90°.所以AC是⊙O的直径，AC=4.因为AB=BC，$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}=16$，所以$AB=BC=2\sqrt{2}$.因为四边形ABCD的周长=AB+BC+AD+DC，所以要使四边形ABCD的周长最大，则需AD+DC取得最大值，即BD需取得最大值.当BD过圆心O时，BD取得最大值，所以AD+DC的最大值为$4\sqrt{2}$.所以四边形ABCD周长的最大值=$4\sqrt{2}+2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=8\sqrt{2}$.