《2025年新课程学习与测评单元双测九年级数学全一册人教版》

17. （16 分）小明与小亮共同发明了一种“字母棋”游戏，他们用三个字母做成如图 8 所示的 5 颗棋子（除字母外其他均相同），其中 A 棋 1 颗，B 棋 2 颗，C 棋 2 颗.制订规则如下：将 5 颗棋子放入 1 个不透明的袋子中，小明和小亮分别随机从中摸出 1 颗棋子，若摸到的 2 颗棋子中有 A 棋，则小明胜；若摸到 2 颗字母相同的棋子，则小亮胜（其余情况视为平局，游戏重新进行）.
（1）求小明胜的概率.
（2）这个游戏公平吗？若不公平，请修改规则使游戏公平.

答案：
17.解：
(1)画树状图如图24.

由树状图可知，共有20种等可能的结果，摸到A棋的有8种结果，所以P(小明胜)=$\frac{8}{20}$=$\frac{2}{5}$.
(2)摸到2颗字母相同的棋子的有4种结果，所以P(小亮胜)=$\frac{4}{20}$=$\frac{1}{5}$.因为P(小明胜)≠P(小亮胜)，所以这个游戏不公平.修改规则如下：将5颗棋子放入1个不透明的袋子中，小明和小亮分别随机从中摸出1颗棋子，若摸到的2颗棋子中有A棋，则小明胜；若摸到的2颗棋子分别为B棋和C棋，则小亮胜(其余情况视为平局，游戏重新进行).(答案不唯一，两人胜利的概率相等即可)

附加题（20 分）
18. 小颖和小红做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，他们共做了 60 次试验，数据结果如下表所示.

（1）计算“3 点朝上”的频率和“5 点朝上”的频率.
（2）小颖说：“根据数据可知，1 次试验中出现 5 点朝上的概率最大.”小红说：“如果投掷 600 次，那么 6 点朝上的次数正好是 100 次.”请判断小颖和小红的说法是否正确，并说明理由.
（3）小颖和小红各投掷 1 枚骰子，用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为 3 的倍数的概率.

答案： 18.解：
(1)“3点朝上”的频率是6÷60 = 0.1，“5点朝上”的频率是21÷60 = 0.35.
(2)小颖的说法是错误的.理由：“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大.只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近.小红的说法是错误的.理由：因为事件发生具有随机性，故投掷600次“6点朝上”的次数不一定是100次.
(3)根据题意，列表如下.
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
由表格可知，共有36种等可能的结果，点数之和为3的倍数的有12种结果，所以P(点数之和为3的倍数)=$\frac{12}{36}$=$\frac{1}{3}$.