《2025年暑假作业贵州人民出版社七年级数学北师大版》

10. 某大学计划为新生配备如图 1 所示的折叠凳,图 2 是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计),其中凳腿 AB 和 CD 的长相等,O 是它们的中点。为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳宽度 AD 设计为 30 cm,由以上信息能求出 CB 的长度吗? 如果能,请求出 CB 的长度,如果不能,请你说明理由。


解：$ \because O $ 是 $ AB $，$ CD $ 的中点，
$ \therefore OA = OB $，$ OC = OD $，
在 $ \triangle AOD $ 和 $ \triangle BOC $ 中，
因为 $ OA = OB $，$ \angle AOD = \angle BOC $，$ OD = OC $，根据三角形全等的判定条件“SAS”，所以 $ \triangle AOD \cong \triangle BOC $，所以 $ CB = AD $，
因为 $ AD = 30 \text{cm} $，所以 $ CB = $30$ \text{cm} $。

答案： 解：$ \because O $ 是 $ AB $，$ CD $ 的中点，
$ \therefore OA = OB $，$ OC = OD $，
在 $ \triangle AOD $ 和 $ \triangle BOC $ 中，
因为 $ OA = OB $，$ \angle AOD = \angle BOC $，$ OD = OC $，根据三角形全等的判定条件“SAS”，所以 $ \triangle AOD \cong \triangle BOC $，所以 $ CB = AD $，
因为 $ AD = 30 \text{cm} $，所以 $ CB = 30 \text{cm} $。

11. 某铁路施工队在建设铁路的过程中,需要打通一座小山,如图,设计时要测量隧道 AB 的长度,恰好在山的前面有一片空地,测量人员想借助空地,利用三角形全等的知识测量出隧道 AB 的长度,请你帮助测量人员设计测量方法,画出图形,并说明理由(要求:至少两种方法)。

答案：
解：（方法一）如图，
(1)过点 $ A $ 作线段 $ AD \perp AB $；

(2)过点 $ D $ 作 $ DM \perp AD $；
(3)取 $ AD $ 的中点 $ C $，连接 $ BC $，并延长交 $ DM $ 于点 $ E $，则 $ DE $ 的长就是隧道 $ AB $ 的长。
理由如下：
因为 $ AD \perp AB $，$ ED \perp AD $，
所以 $ \angle A = \angle D = 90^{\circ} $。
因为 $ C $ 是 $ AD $ 的中点，
所以 $ AC = DC $。又 $ \angle ACB = \angle DCE $，
根据三角形全等的判定条件“ASA”，所以 $ \triangle ABC \cong \triangle DEC $，
所以 $ AB = DE $。
（方法二）如图，
(1)过点 $ A $ 作线段 $ AD $；

(2)取 $ AD $ 的中点 $ C $，连接 $ BC $，并延长至点 $ E $，使 $ EC = BC $；
(3)连接 $ DE $，则 $ DE $ 的长就是隧道 $ AB $ 的长。
理由如下：
因为 $ C $ 是 $ AD $ 的中点，所以 $ AC = DC $。
又 $ \angle ACB = \angle DCE $，$ BC = EC $，
根据三角形全等的判定条件“SAS”，所以 $ \triangle ACB \cong \triangle DCE $，
所以 $ AB = DE $。
（方法三）图同方法一，第
(2)步改为过点 $ D $ 作 $ DM // AB $，其他同方法一。
理由如下：
因为 $ DM // AB $，所以 $ \angle A = \angle D $。
又 $ \angle ACB = \angle DCE $，$ AC = DC $，
根据三角形全等的判定条件“AAS”，所以 $ \triangle ACB \cong \triangle DCE $，
所以 $ AB = DE $。