《2025年暑假作业贵州人民出版社七年级数学北师大版》

17. 王老师在课堂上给同学们出了一道猜数游戏题,规则:同学们在心里想好一个除$0$以外的数,然后按下列顺序进行计算:
(1)把这个数加上$2$以后再平方;
(2)减去$4$;
(3)除以所想的那个数,得到一个商。
把你所得的商告诉老师,老师立即知道你所想的数,请你说出其中的奥秘。

答案： 解：设所想的数为 $ a (a \neq 0) $。
根据题意，计算过程如下：
$\begin{aligned}&[(a + 2)^2 - 4] ÷ a \\=&(a^2 + 4a + 4 - 4) ÷ a \\=&(a^2 + 4a) ÷ a \\=&a + 4\end{aligned}$
因此，用所得的商减去 4 就是所想的数。

18. 阅读下列材料:因为$(x + 3)(x - 2)= x^{2}+x - 6$,所以$(x^{2}+x - 6)÷ (x - 2)= x + 3$。这说明$x^{2}+x - 6能被x - 2$整除,同时也说明多项式$x^{2}+x - 6有一个因式为x - 2$;另外,当$x = 2$时,多项式$x^{2}+x - 6的值为0$。
(1)根据上面的材料猜想:多项式的值为$0$、多项式有因式$x - 2$、多项式能被$x - 2$整除,这之间存在着一种什么样的联系?
如果当$x = 2$时多项式的值为 0，那么多项式有因式$x - 2$且能被$x - 2$整除；反之亦然。
(2)探求规律:更一般地,如果一个关于字母$x的多项式M$,当$x = k$时,$M的值为0$,那么$M与x - k$之间有何种关系?
$M$有因式$x - k$且能被$x - k$整除。
(3)应用:利用上面的结果求解,已知$x - 2能整除x^{2}+kx - 14$,求$k$的值。
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答案： 【解析】：
(1) 由材料可知，当多项式的值为 0（即当$x = 2$时多项式$x^{2}+x - 6$的值为 0），此时多项式有因式$x - 2$，并且多项式能被$x - 2$整除。所以它们之间的联系是：如果当$x = 2$时多项式的值为 0，那么多项式就有因式$x - 2$，且能被$x - 2$整除；反之，如果多项式有因式$x - 2$或能被$x - 2$整除，那么当$x = 2$时多项式的值为 0。
(2) 更一般地，如果关于字母$x$的多项式$M$，当$x = k$时，$M$的值为 0，那么根据上述规律可推测，$M$有一个因式为$x - k$，并且$M$能被$x - k$整除。
(3) 已知$x - 2$能整除$x^{2}+kx - 14$，根据（2）中的规律，当$x = 2$时，多项式$x^{2}+kx - 14$的值为 0。将$x = 2$代入多项式可得：$2^{2}+2k - 14 = 0$，即$4 + 2k - 14 = 0$，化简得$2k - 10 = 0$，解得$2k = 10$，所以$k = 5$。
【答案】：
(1) 如果当$x = 2$时多项式的值为 0，那么多项式有因式$x - 2$且能被$x - 2$整除；反之亦然。
(2) $M$有因式$x - k$且能被$x - k$整除。
(3) 5