《2025年暑假作业贵州人民出版社七年级数学北师大版》

24. 在幂的运算中规定:若$ a ^ { x } = a ^ { y } ( a ＞ 0 且 a \neq 1 , x , y $是正整数),则$ x = y $。
利用上面结论解答下列问题:
(1)若$ 9 ^ { x } = 3 ^ { 6 } $,求$ x $的值;
解：因为$9^x=3^6$，所以$3^{2x}=3^6$，所以$2x=6$，解得$x=$3。
(2)若$ 3 ^ { x + 2 } - 3 ^ { x + 1 } = 18 $,求$ x $的值;
解：因为$3^{x+2}-3^{x+1}=18$，所以$3^{x+1}×3-3^{x+1}=18$，所以$2×3^{x+1}=2×3^2$，所以$x+1=2$，解得$x=$1。
(3)若$ m = 2 ^ { x } + 1 , n = 4 ^ { x } + 2 ^ { x } $,用含$ m $的代数式表示$ n $。
解：因为$m=2^x+1$，$n=4^x+2^x$，所以$n=(2^x)^2+2^x=2^x(2^x+1)=m\cdot2^x=m(m-1)=$$m^2-m$。

答案： 解
(1) 因为 $ 9^x = 3^6 $，所以 $ 3^{2x} = 3^6 $，所以 $ 2x = 6 $，解得 $ x = 3 $。
(2) 因为 $ 3^{x + 2} - 3^{x + 1} = 18 $，所以 $ 3^{x + 1} × 3 - 3^{x + 1} = 18 $，所以 $ 2 × 3^{x + 1} = 2 × 3^2 $，所以 $ x + 1 = 2 $，解得 $ x = 1 $。
(3) 因为 $ m = 2^x + 1 $，$ n = 4^x + 2^x $，所以 $ n = (2^x)^2 + 2^x = 2^x(2^x + 1) = m \cdot 2^x = m(m - 1) = m^2 - m $。

25. 根据现有知识,若已知$ 10 ^ { a } = 200,10 ^ { b } = \frac { 1 } { 5 } $时,不能求出$ a 和 b $的值,但是小红却利用它们求出了$ 2 ^ { a } ÷ 2 ^ { b } $的值,你知道她是怎么计算的吗?
解：因为$10^a = 200$，$10^b = \frac{1}{5}$，
所以$10^a÷10^b = 10^{a - b} = 200÷\frac{1}{5} = 1000 = 10^3$，
所以$a - b = 3$，
所以$2^a÷2^b = 2^{a - b} = 2^3 = 8$。

答案： 解：因为$10^a = 200$，$10^b = \frac{1}{5}$，
所以$10^a÷10^b = 10^{a - b} = 200÷\frac{1}{5} = 1000 = 10^3$，
所以$a - b = 3$，
所以$2^a÷2^b = 2^{a - b} = 2^3 = 8$。

26. 小丽遇到这样一道题:“已知$ ( x - 2 ) ^ { x + 3 } = 1 $,求$ x $的值。”她解出来的结果为$ x = - 3 $。老师说她考虑问题不够全面,你能帮助小丽解答这个问题吗?
解 当 $ x - 2 = 1 $ 时，解得 $ x = 3 $，此时 $ (3 - 2)^{3 + 3} = 1^6 = 1 $，符合题意；
当 $ x - 2 = -1 $ 时，解得 $ x = 1 $，此时 $ (1 - 2)^{1 + 3} = (-1)^4 = 1 $，符合题意；
由 $ x + 3 = 0 $，解得 $ x = -3 $，此时 $ x - 2 = -5 \neq 0 $，符合题意。
故当 $ x $ 的值为3 或 1 或 -3时，$ (x - 2)^{x + 3} = 1 $。

答案： 解 当 $ x - 2 = 1 $ 时，解得 $ x = 3 $，此时 $ (3 - 2)^{3 + 3} = 1^6 = 1 $，符合题意；
当 $ x - 2 = -1 $ 时，解得 $ x = 1 $，此时 $ (1 - 2)^{1 + 3} = (-1)^4 = 1 $，符合题意；
由 $ x + 3 = 0 $，解得 $ x = -3 $，此时 $ x - 2 = -5 \neq 0 $，符合题意。
故当 $ x $ 的值为 3 或 1 或 -3 时，$ (x - 2)^{x + 3} = 1 $。