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例6 (盐城市东台市期末)如图,$\triangle ABC$是等边三角形,$D$,$E分别是边BC$,$CA$上的点,且$BD = CE$,$AD$,$BE相交于点O$.
(1)求证：$\triangle BAE\cong\triangle ACD$；
(2)求$\angle AOB$的度数.
(1)求证：$\triangle BAE\cong\triangle ACD$；
(2)求$\angle AOB$的度数.
答案：
【解析】：
(1) 要证明$\triangle BAE \cong \triangle ACD$，我们可以按照以下步骤：
第一步，由题目信息，可知$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle BAC = \angle C = 60^\circ$，且$AB = BC = AC$。
第二步，根据题目条件，$BD = CE$，所以$BC - BD = AC - CE$，即$CD = AE$。
第三步，根据三角形的边角边全等判定，在$\triangle BAE$和$\triangle ACD$中，有$AE = CD$，$\angle BAE = \angle C$，$BA = AC$，所以$\triangle BAE \cong \triangle ACD$。
(2) 要求$\angle AOB$的度数，我们可以按照以下步骤：
第一步，由第一问的结论，可知$\triangle BAE \cong \triangle ACD$，所以$\angle ABE = \angle CAD$。
第二步，根据三角形内角和为$180^\circ$，有$\angle AOB = 180^\circ - \angle BAO - \angle ABO$。
第三步，由于$\angle BAO = \angle BAC - \angle CAD = 60^\circ - \angle CAD$，且$\angle ABO = \angle ABE$，所以$\angle AOB = 180^\circ - (60^\circ - \angle CAD) - \angle ABE = 180^\circ - 60^\circ + \angle CAD - \angle ABE = 120^\circ$（因为$\angle CAD = \angle ABE$）。
或者，我们可以直接利用外角性质，$\angle AOB$是$\triangle AOE$的外角，所以$\angle AOB = \angle OAE + \angle AEO = \angle CAD + \angle ABE + \angle BAC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$（因为$\angle CAD = \angle ABE$且$\angle BAC = 60^\circ$）。
【答案】：
(1) 证明：因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle BAC = \angle C = 60^\circ$，$AB = BC = AC$。因为$BD = CE$，所以$CD = AE$。在$\triangle BAE$和$\triangle ACD$中，有
$\begin{cases}AE = CD, \\\angle BAE = \angle C, \\BA = AC,\end{cases}$
所以$\triangle BAE \cong \triangle ACD$（SAS）。
(2) $\angle AOB = 120^\circ$。
(1) 要证明$\triangle BAE \cong \triangle ACD$，我们可以按照以下步骤：
第一步，由题目信息，可知$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle BAC = \angle C = 60^\circ$，且$AB = BC = AC$。
第二步，根据题目条件，$BD = CE$，所以$BC - BD = AC - CE$，即$CD = AE$。
第三步，根据三角形的边角边全等判定，在$\triangle BAE$和$\triangle ACD$中，有$AE = CD$，$\angle BAE = \angle C$，$BA = AC$，所以$\triangle BAE \cong \triangle ACD$。
(2) 要求$\angle AOB$的度数，我们可以按照以下步骤：
第一步，由第一问的结论，可知$\triangle BAE \cong \triangle ACD$，所以$\angle ABE = \angle CAD$。
第二步，根据三角形内角和为$180^\circ$，有$\angle AOB = 180^\circ - \angle BAO - \angle ABO$。
第三步，由于$\angle BAO = \angle BAC - \angle CAD = 60^\circ - \angle CAD$，且$\angle ABO = \angle ABE$，所以$\angle AOB = 180^\circ - (60^\circ - \angle CAD) - \angle ABE = 180^\circ - 60^\circ + \angle CAD - \angle ABE = 120^\circ$（因为$\angle CAD = \angle ABE$）。
或者，我们可以直接利用外角性质，$\angle AOB$是$\triangle AOE$的外角，所以$\angle AOB = \angle OAE + \angle AEO = \angle CAD + \angle ABE + \angle BAC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$（因为$\angle CAD = \angle ABE$且$\angle BAC = 60^\circ$）。
【答案】：
(1) 证明：因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle BAC = \angle C = 60^\circ$，$AB = BC = AC$。因为$BD = CE$，所以$CD = AE$。在$\triangle BAE$和$\triangle ACD$中，有
$\begin{cases}AE = CD, \\\angle BAE = \angle C, \\BA = AC,\end{cases}$
所以$\triangle BAE \cong \triangle ACD$（SAS）。
(2) $\angle AOB = 120^\circ$。
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