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14. (无锡市江阴市期中)定义：过三角形的顶点作一条射线与其对边相交,将三角形分成两个三角形,若得到的两个三角形中有等腰三角形,则这条射线叫作原三角形的“和谐分割线”.
(1)下列三角形中,不存在“和谐分割线”的是______(填序号).
①等边三角形；②顶角为$150^{\circ}$的等腰三角形；③等腰直角三角形.
(2)如图1,在$\triangle ABC$中,$\angle A = 60^{\circ}$,$\angle B = 40^{\circ}$,请直接写出$\triangle ABC$被“和谐分割线”分得的等腰三角形顶角的度数.
(3)如图2,在$\triangle ABC$中,$\angle A = 30^{\circ}$,$CD为边AB$上的高,$BD = 4$,$E为AD$的中点,过点$E作直线l交AC于点F$,作$CM\perp l$,$DN\perp l$,垂足分别为$M$,$N$.若射线$CD为\triangle ABC$的“和谐分割线”,求$CM + DN$的最大值.
(1)下列三角形中,不存在“和谐分割线”的是______(填序号).
①等边三角形；②顶角为$150^{\circ}$的等腰三角形；③等腰直角三角形.
(2)如图1,在$\triangle ABC$中,$\angle A = 60^{\circ}$,$\angle B = 40^{\circ}$,请直接写出$\triangle ABC$被“和谐分割线”分得的等腰三角形顶角的度数.
(3)如图2,在$\triangle ABC$中,$\angle A = 30^{\circ}$,$CD为边AB$上的高,$BD = 4$,$E为AD$的中点,过点$E作直线l交AC于点F$,作$CM\perp l$,$DN\perp l$,垂足分别为$M$,$N$.若射线$CD为\triangle ABC$的“和谐分割线”,求$CM + DN$的最大值.
答案：
解：（1）①
（2）等腰三角形顶角的度数为 $20^{\circ}$ 或 $40^{\circ}$ 或 $60^{\circ}$ 或 $80^{\circ}$ 或 $100^{\circ}$. 提示：如图 1，当 $EC = EA$ 时，$\angle AEC = 60^{\circ}$；当 $FC = FB$ 时，$\angle BFC = 100^{\circ}$；当 $BC = BG$ 时，$\angle B = 40^{\circ}$. 如图 2，当 $AC = AR$ 时，$\angle CAR = 20^{\circ}$；当 $CA = CW$ 时，$\angle C = 80^{\circ}$. 如图 3，当 $BC = BQ$ 时，$\angle CBQ = 20^{\circ}$.
（3）过点 A 作 $AG \perp l$ 于点 G. 因为 CD 为边 AB 上的高，所以 $\angle CDB = \angle CDA = 90^{\circ}$. 所以 $\angle ACD = 90^{\circ} - \angle BAC = 60^{\circ}$，所以 $\triangle CDA$ 不是等腰三角形. 因为 CD 为 $\triangle ABC$ 的“和谐分割线”，所以 $\triangle CDB$ 和 $\triangle CDA$ 至少有一个是等腰三角形. 所以 $\triangle CDB$ 是等腰三角形，且 $CD = BD = 4$. 因为 $\angle BAC = 30^{\circ}$，所以 $AC = 2CD = 8$. 因为 $DN \perp l$ 于点 N，所以 $\angle DNE = \angle AGE = 90^{\circ}$. 因为 E 为 AD 的中点，所以 $DE = AE$. 又因为 $\angle DEN = \angle AEG$，所以 $\triangle DNE \cong \triangle AGE$，所以 $DN = AG$. 在 $Rt\triangle AGF$ 和 $Rt\triangle CMF$ 中，$\angle CMF = \angle AGF = 90^{\circ}$，所以 $CM \leq CF$，$AG \leq AF$，所以 $CM + AG \leq CF + AF$，即 $CM + AG \leq AC$，所以 $CM + DN \leq 8$，所以 $CM + DN$ 的最大值为 8.
解：（1）①
（2）等腰三角形顶角的度数为 $20^{\circ}$ 或 $40^{\circ}$ 或 $60^{\circ}$ 或 $80^{\circ}$ 或 $100^{\circ}$. 提示：如图 1，当 $EC = EA$ 时，$\angle AEC = 60^{\circ}$；当 $FC = FB$ 时，$\angle BFC = 100^{\circ}$；当 $BC = BG$ 时，$\angle B = 40^{\circ}$. 如图 2，当 $AC = AR$ 时，$\angle CAR = 20^{\circ}$；当 $CA = CW$ 时，$\angle C = 80^{\circ}$. 如图 3，当 $BC = BQ$ 时，$\angle CBQ = 20^{\circ}$.
（3）过点 A 作 $AG \perp l$ 于点 G. 因为 CD 为边 AB 上的高，所以 $\angle CDB = \angle CDA = 90^{\circ}$. 所以 $\angle ACD = 90^{\circ} - \angle BAC = 60^{\circ}$，所以 $\triangle CDA$ 不是等腰三角形. 因为 CD 为 $\triangle ABC$ 的“和谐分割线”，所以 $\triangle CDB$ 和 $\triangle CDA$ 至少有一个是等腰三角形. 所以 $\triangle CDB$ 是等腰三角形，且 $CD = BD = 4$. 因为 $\angle BAC = 30^{\circ}$，所以 $AC = 2CD = 8$. 因为 $DN \perp l$ 于点 N，所以 $\angle DNE = \angle AGE = 90^{\circ}$. 因为 E 为 AD 的中点，所以 $DE = AE$. 又因为 $\angle DEN = \angle AEG$，所以 $\triangle DNE \cong \triangle AGE$，所以 $DN = AG$. 在 $Rt\triangle AGF$ 和 $Rt\triangle CMF$ 中，$\angle CMF = \angle AGF = 90^{\circ}$，所以 $CM \leq CF$，$AG \leq AF$，所以 $CM + AG \leq CF + AF$，即 $CM + AG \leq AC$，所以 $CM + DN \leq 8$，所以 $CM + DN$ 的最大值为 8.
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