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例3 (扬州市宝应县期中)下列各式中,正确的是 (
A.$\sqrt{(-3)^2} = -3$
B.$-\sqrt{3^2} = -3$
C.$\sqrt{(\pm 3)^2} = -3$
D.$\sqrt{3^2} = \pm 3$
B
)A.$\sqrt{(-3)^2} = -3$
B.$-\sqrt{3^2} = -3$
C.$\sqrt{(\pm 3)^2} = -3$
D.$\sqrt{3^2} = \pm 3$
答案：
【解析】：
本题主要考察算术平方根的定义及性质。
A. 对于$\sqrt{(-3)^2}$，首先计算内部的平方：$(-3)^2 = 9$，再对9开平方得3，所以$\sqrt{(-3)^2} = 3$，与选项A中的-3不符，故A错误。
B. 对于$-\sqrt{3^2}$，首先计算内部的平方：$3^2 = 9$，再对9开平方得3，最后取负值得-3，所以$-\sqrt{3^2} = -3$，与选项B中的-3相符，故B正确。
C. 对于$\sqrt{(\pm 3)^2}$，无论内部是3还是-3，其平方都是9，再对9开平方得3，所以$\sqrt{(\pm 3)^2} = 3$，与选项C中的-3不符，故C错误。
D. 对于$\sqrt{3^2}$，首先计算内部的平方：$3^2 = 9$，再对9开平方得3，所以$\sqrt{3^2} = 3$，算术平方根只有一个非负值，与选项D中的$\pm 3$不符，故D错误。
【答案】：
B
本题主要考察算术平方根的定义及性质。
A. 对于$\sqrt{(-3)^2}$，首先计算内部的平方：$(-3)^2 = 9$，再对9开平方得3，所以$\sqrt{(-3)^2} = 3$，与选项A中的-3不符，故A错误。
B. 对于$-\sqrt{3^2}$，首先计算内部的平方：$3^2 = 9$，再对9开平方得3，最后取负值得-3，所以$-\sqrt{3^2} = -3$，与选项B中的-3相符，故B正确。
C. 对于$\sqrt{(\pm 3)^2}$，无论内部是3还是-3，其平方都是9，再对9开平方得3，所以$\sqrt{(\pm 3)^2} = 3$，与选项C中的-3不符，故C错误。
D. 对于$\sqrt{3^2}$，首先计算内部的平方：$3^2 = 9$，再对9开平方得3，所以$\sqrt{3^2} = 3$，算术平方根只有一个非负值，与选项D中的$\pm 3$不符，故D错误。
【答案】：
B
例4 (盐城市东台市期末)若一个正数的平方根分别是$2x + 1和x - 7$,则$x^2 - 2x + 3$的平方根是多少?
答案：
【解析】：
本题考查了平方根的性质，即一个正数的两个平方根互为相反数。
根据这一性质，我们可以列出等式$2x + 1 + x - 7 = 0$，然后解这个一元一次方程得到$x$的值。
得到$x$的值后，我们将其代入$x^2 - 2x + 3$，求出该式的值。
最后，我们求出$x^2 - 2x + 3$的平方根。
【答案】：
解：
由题意，得$2x + 1 + x - 7 = 0$，
合并同类项，得$3x - 6 = 0$，
移项，得$3x = 6$，
解得$x = 2$，
将$x = 2$代入$x^2 - 2x + 3$，得$2^2 - 2 × 2 + 3 = 3$，
所以$x^2 - 2x + 3$的平方根是$\pm \sqrt{3}$。
本题考查了平方根的性质，即一个正数的两个平方根互为相反数。
根据这一性质，我们可以列出等式$2x + 1 + x - 7 = 0$，然后解这个一元一次方程得到$x$的值。
得到$x$的值后，我们将其代入$x^2 - 2x + 3$，求出该式的值。
最后，我们求出$x^2 - 2x + 3$的平方根。
【答案】：
解：
由题意，得$2x + 1 + x - 7 = 0$，
合并同类项，得$3x - 6 = 0$，
移项，得$3x = 6$，
解得$x = 2$，
将$x = 2$代入$x^2 - 2x + 3$，得$2^2 - 2 × 2 + 3 = 3$，
所以$x^2 - 2x + 3$的平方根是$\pm \sqrt{3}$。
例5 (淮安市淮安区期末)已知一个数的立方根等于它本身,则这个数是 (
A.1
B.$-1$
C.0
D.$-1$或0或1
D
)A.1
B.$-1$
C.0
D.$-1$或0或1
答案：
【解析】：
这个问题是一个选择题，要求找出一个数，其立方根等于它本身。
我们知道，一个数的立方根等于它本身，意味着这个数的三次方等于它本身。
我们可以逐一检验选项：
A. $1^3 = 1$，满足条件，但不能确定是否只有这一个解。
B. $(-1)^3 = -1$，也满足条件，但同样不能确定是否只有这一个解。
C. $0^3 = 0$，也满足条件，但仍需检验是否还有其他解。
D. 包含$-1$，$0$，$1$三个数，它们都满足条件。
通过检验，我们发现只有$-1$，$0$，$1$这三个数的立方根等于它们本身。
因此，答案是D，即这个数可以是$-1$，$0$，或$1$。
【答案】：
D
这个问题是一个选择题，要求找出一个数，其立方根等于它本身。
我们知道，一个数的立方根等于它本身，意味着这个数的三次方等于它本身。
我们可以逐一检验选项：
A. $1^3 = 1$，满足条件，但不能确定是否只有这一个解。
B. $(-1)^3 = -1$，也满足条件，但同样不能确定是否只有这一个解。
C. $0^3 = 0$，也满足条件，但仍需检验是否还有其他解。
D. 包含$-1$，$0$，$1$三个数，它们都满足条件。
通过检验，我们发现只有$-1$，$0$，$1$这三个数的立方根等于它们本身。
因此，答案是D，即这个数可以是$-1$，$0$，或$1$。
【答案】：
D
例6 (泰州市泰兴市期末)在$-\frac{\pi}{3},\sqrt[3]{-8},\sqrt{2},0.21,(\sqrt{2})^0$中,无理数有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：
【解析】：
本题主要考查了无理数的定义和识别。
无理数是不能表示为两个整数的比的数，且其小数部分是无限不循环的。
在给定的数中：
$-\frac{\pi}{3}$：由于$\pi$是一个无理数，所以$-\frac{\pi}{3}$也是无理数。
$\sqrt[3]{-8}$：计算得$\sqrt[3]{-8} = -2$，是一个整数，因此是有理数。
$\sqrt{2}$：这是一个典型的无理数，因为它不能表示为两个整数的比，且其小数部分是无限不循环的。
$0.21$：这是一个有限小数，可以表示为$\frac{21}{100}$，因此是有理数。
$(\sqrt{2})^0$：任何非零数的0次方都是1，所以$(\sqrt{2})^0 = 1$，是有理数。
综上所述，无理数有$-\frac{\pi}{3}$和$\sqrt{2}$，共2个。
【答案】：
B
本题主要考查了无理数的定义和识别。
无理数是不能表示为两个整数的比的数，且其小数部分是无限不循环的。
在给定的数中：
$-\frac{\pi}{3}$：由于$\pi$是一个无理数，所以$-\frac{\pi}{3}$也是无理数。
$\sqrt[3]{-8}$：计算得$\sqrt[3]{-8} = -2$，是一个整数，因此是有理数。
$\sqrt{2}$：这是一个典型的无理数，因为它不能表示为两个整数的比，且其小数部分是无限不循环的。
$0.21$：这是一个有限小数，可以表示为$\frac{21}{100}$，因此是有理数。
$(\sqrt{2})^0$：任何非零数的0次方都是1，所以$(\sqrt{2})^0 = 1$，是有理数。
综上所述，无理数有$-\frac{\pi}{3}$和$\sqrt{2}$，共2个。
【答案】：
B
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