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12. (苏州市期中)如图1,在△ABE和△ACD中,若AE= AB,AD= AC,且∠BAE= ∠CAD,则可证明△AEC≌△ABD.
【初步探究】(1)如图2,△ABC为等边三角形,过点A作AC的垂线l,P为l上一动点(不与点A重合),连接CP,把线段CP绕点C逆时针旋转60°得到CQ,连接QB.请写出AP与BQ的数量关系,并说明理由.
【深入探究】(2)如图3,在(1)的条件下,连接PB并延长PB交直线CQ于点D.当点P运动到PD⊥CQ时,若AC= √2,求PB的长.
【拓展探究】(3)如图4,在△ABC中,∠ACB= 45°,以AB为直角边,A为直角顶点向外作等腰直角三角形ABD,连接CD.若AC= 1,BC= 3,则CD的长为______.
(1)AP=BQ.理由如下：因为△ABC为等边三角形，所以CA=CB，∠ACB=60°.因为线段CP绕点C逆时针旋转60°得到CQ，所以CP=CQ，∠PCQ=60°.所以∠ACB−∠BCP=∠PCQ−∠BCP，即∠ACP=∠BCQ.所以△ACP≌△BCQ，所以AP=BQ.
(2)连接PQ.同(1)可证AP=BQ.因为CP=CQ，∠PCQ=60°，所以△PCQ是等边三角形.当PD⊥CQ时，PD垂直平分CQ，∠CPD=1/2∠CPQ=30°，所以BC=BQ=AP.因为△ABC是等边三角形，所以BC=CA=√2，所以AP=AC=√2.在Rt△CAP中，由勾股定理，得PC=√(AP²+AC²)=2，所以CD=1/2 PC=1.在Rt△CPD中，由勾股定理，得PD=√(PC²−CD²)=√3，在Rt△CBD中，由勾股定理，得BD=√(BC²−CD²)=1，所以PB=PD−BD=√3 - 1.
(3)√11
【初步探究】(1)如图2,△ABC为等边三角形,过点A作AC的垂线l,P为l上一动点(不与点A重合),连接CP,把线段CP绕点C逆时针旋转60°得到CQ,连接QB.请写出AP与BQ的数量关系,并说明理由.
【深入探究】(2)如图3,在(1)的条件下,连接PB并延长PB交直线CQ于点D.当点P运动到PD⊥CQ时,若AC= √2,求PB的长.
【拓展探究】(3)如图4,在△ABC中,∠ACB= 45°,以AB为直角边,A为直角顶点向外作等腰直角三角形ABD,连接CD.若AC= 1,BC= 3,则CD的长为______.
(1)AP=BQ.理由如下：因为△ABC为等边三角形，所以CA=CB，∠ACB=60°.因为线段CP绕点C逆时针旋转60°得到CQ，所以CP=CQ，∠PCQ=60°.所以∠ACB−∠BCP=∠PCQ−∠BCP，即∠ACP=∠BCQ.所以△ACP≌△BCQ，所以AP=BQ.
(2)连接PQ.同(1)可证AP=BQ.因为CP=CQ，∠PCQ=60°，所以△PCQ是等边三角形.当PD⊥CQ时，PD垂直平分CQ，∠CPD=1/2∠CPQ=30°，所以BC=BQ=AP.因为△ABC是等边三角形，所以BC=CA=√2，所以AP=AC=√2.在Rt△CAP中，由勾股定理，得PC=√(AP²+AC²)=2，所以CD=1/2 PC=1.在Rt△CPD中，由勾股定理，得PD=√(PC²−CD²)=√3，在Rt△CBD中，由勾股定理，得BD=√(BC²−CD²)=1，所以PB=PD−BD=√3 - 1.
(3)√11
答案：
解：
(1)AP=BQ.理由如下：因为△ABC为等边三角形，所以CA=CB，∠ACB=60°.因为线段CP绕点C逆时针旋转60°得到CQ，所以CP=CQ，∠PCQ=60°.所以∠ACB−∠BCP=∠PCQ−∠BCP，即∠ACP=∠BCQ.所以△ACP≌△BCQ，所以AP=BQ.
(2)连接PQ.同
(1)可证AP=BQ.因为CP=CQ，∠PCQ=60°，所以△PCQ是等边三角形.当PD⊥CQ时，PD垂直平分CQ，∠CPD=1/2∠CPQ=30°，所以BC=BQ=AP.因为△ABC是等边三角形，所以BC=CA=√2，所以AP=AC=√2.在Rt△CAP中，由勾股定理，得PC=√(AP²+AC²)=2，所以CD=1/2 PC=1.在Rt△CPD中，由勾股定理，得PD=√(PC²−CD²)=√3，在Rt△CBD中，由勾股定理，得BD=√(BC²−CD²)=1，所以PB=PD−BD=√3 - 1.
(3)√11 提示：在AC的上方以AC为直角边，A为直角顶点，作等腰直角三角形ACE，连接BE.在Rt△ACE中，由勾股定理，得CE=√(AC²+AE²)=√2.因为∠ACE=∠ACB=45°，所以∠BCE=90°.因为BC=3，所以在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE=√(BC²+CE²)=√11.因为∠BAD=∠CAE=90°，所以∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠BAE=∠DAC.因为AB=AD，AE=AC，所以△ABE≌△ADC，所以CD=BE=√11.
(1)AP=BQ.理由如下：因为△ABC为等边三角形，所以CA=CB，∠ACB=60°.因为线段CP绕点C逆时针旋转60°得到CQ，所以CP=CQ，∠PCQ=60°.所以∠ACB−∠BCP=∠PCQ−∠BCP，即∠ACP=∠BCQ.所以△ACP≌△BCQ，所以AP=BQ.
(2)连接PQ.同
(1)可证AP=BQ.因为CP=CQ，∠PCQ=60°，所以△PCQ是等边三角形.当PD⊥CQ时，PD垂直平分CQ，∠CPD=1/2∠CPQ=30°，所以BC=BQ=AP.因为△ABC是等边三角形，所以BC=CA=√2，所以AP=AC=√2.在Rt△CAP中，由勾股定理，得PC=√(AP²+AC²)=2，所以CD=1/2 PC=1.在Rt△CPD中，由勾股定理，得PD=√(PC²−CD²)=√3，在Rt△CBD中，由勾股定理，得BD=√(BC²−CD²)=1，所以PB=PD−BD=√3 - 1.
(3)√11 提示：在AC的上方以AC为直角边，A为直角顶点，作等腰直角三角形ACE，连接BE.在Rt△ACE中，由勾股定理，得CE=√(AC²+AE²)=√2.因为∠ACE=∠ACB=45°，所以∠BCE=90°.因为BC=3，所以在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE=√(BC²+CE²)=√11.因为∠BAD=∠CAE=90°，所以∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠BAE=∠DAC.因为AB=AD，AE=AC，所以△ABE≌△ADC，所以CD=BE=√11.
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