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例2 (徐州市期末)如图,$AD是\triangle ABC$的高,$BE平分\angle ABC交AD于点E$.若$\angle C = 70^{\circ}$,$\angle BED = 64^{\circ}$,求$\angle BAC$的度数.
答案：
【解析】：本题可根据三角形高的定义、角平分线的性质以及三角形内角和定理来求解$\angle BAC$的度数。
首先，根据三角形高的定义，因为$AD$是$\triangle ABC$的高，所以$\angle ADC = \angle ADB = 90^{\circ}$。
然后，在$\triangle BDE$中，已知$\angle ADB = 90^{\circ}$，$\angle BED = 64^{\circ}$，根据直角三角形两锐角互余，可求出$\angle DBE$的度数，即$\angle DBE = 90^{\circ} - \angle BED = 90^{\circ} - 64^{\circ} = 26^{\circ}$。
接着，因为$BE$平分$\angle ABC$，根据角平分线的性质，所以$\angle ABC = 2\angle DBE = 2×26^{\circ} = 52^{\circ}$。
最后，在$\triangle ABC$中，已知$\angle C = 70^{\circ}$，$\angle ABC = 52^{\circ}$，根据三角形内角和定理$\angle BAC = 180^{\circ} - \angle C - \angle ABC$，可求出$\angle BAC$的度数。
【答案】：解：因为$AD$是$\triangle ABC$的高，
所以$\angle ADC = \angle ADB = 90^{\circ}$。
又因为$\angle BED = 64^{\circ}$，
所以$\angle DBE = 90^{\circ} - \angle BED = 90^{\circ} - 64^{\circ} = 26^{\circ}$。
因为$BE$平分$\angle ABC$，
所以$\angle ABC = 2\angle DBE = 2×26^{\circ} = 52^{\circ}$。
所以$\angle BAC = 180^{\circ} - \angle C - \angle ABC = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 52^{\circ} = 58^{\circ}$。
首先，根据三角形高的定义，因为$AD$是$\triangle ABC$的高，所以$\angle ADC = \angle ADB = 90^{\circ}$。
然后，在$\triangle BDE$中，已知$\angle ADB = 90^{\circ}$，$\angle BED = 64^{\circ}$，根据直角三角形两锐角互余，可求出$\angle DBE$的度数，即$\angle DBE = 90^{\circ} - \angle BED = 90^{\circ} - 64^{\circ} = 26^{\circ}$。
接着，因为$BE$平分$\angle ABC$，根据角平分线的性质，所以$\angle ABC = 2\angle DBE = 2×26^{\circ} = 52^{\circ}$。
最后，在$\triangle ABC$中，已知$\angle C = 70^{\circ}$，$\angle ABC = 52^{\circ}$，根据三角形内角和定理$\angle BAC = 180^{\circ} - \angle C - \angle ABC$，可求出$\angle BAC$的度数。
【答案】：解：因为$AD$是$\triangle ABC$的高，
所以$\angle ADC = \angle ADB = 90^{\circ}$。
又因为$\angle BED = 64^{\circ}$，
所以$\angle DBE = 90^{\circ} - \angle BED = 90^{\circ} - 64^{\circ} = 26^{\circ}$。
因为$BE$平分$\angle ABC$，
所以$\angle ABC = 2\angle DBE = 2×26^{\circ} = 52^{\circ}$。
所以$\angle BAC = 180^{\circ} - \angle C - \angle ABC = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 52^{\circ} = 58^{\circ}$。
例3 (苏州市工业园区期末)如图,$\triangle ABC的中线AD$,$BE相交于点F$.若$\triangle ABF的面积为1$,则四边形$FDCE$的面积是______.
1
答案：
【解析】：题目考查了三角形的中线性质以及三角形面积的计算。
三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分。
因为$AD,BE$是$\triangle ABC$的中线，
所以$D,E$分别是$BC,AC$边上的中点，
所以$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，$S_{\triangle BEC} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，
所以$S_{\triangle BEC} = S_{\triangle ABD}$，
所以$S_{四边形FDCE} = S_{\triangle BEC} - S_{\triangle BFD} = S_{\triangle ABD} - S_{\triangle BFD} = S_{\triangle ABF} = 1$。
【答案】：1
三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分。
因为$AD,BE$是$\triangle ABC$的中线，
所以$D,E$分别是$BC,AC$边上的中点，
所以$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，$S_{\triangle BEC} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，
所以$S_{\triangle BEC} = S_{\triangle ABD}$，
所以$S_{四边形FDCE} = S_{\triangle BEC} - S_{\triangle BFD} = S_{\triangle ABD} - S_{\triangle BFD} = S_{\triangle ABF} = 1$。
【答案】：1
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