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11.(苏州市高新区期末)阅读材料并回答问题：在学习绝对值时,根据绝对值的几何意义可以得出,一般地,点A,B在数轴上分别表示有理数a,b,那么A,B两点之间的距离可以表示为$|AB|= |a-b|$,所以在平面直角坐标系中,x轴上两点$A(x_{1},0),B(x_{2},0)$,则$AB= |x_{1}-x_{2}|$；y轴上两点$C(0,y_{1}),D(0,y_{2})$,则$CD= |y_{1}-y_{2}|$.
(1)如图1,求证：平面直角坐标系内任意两点$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})间的距离公式为AB= \sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}$.
(2)在平面直角坐标系中,若$\triangle ABC的三个顶点为A(1,2),B(5,5),C(4,-2)$,试判断$\triangle ABC$的形状.
(3)如图2,点$A(-3,3),B(1,5)$,点P是x轴上的动点,直接写出$AP+BP$的最小值.
临门一脚
平面直角坐标系这一章是学习函数的基础,学习这一章的重点是注意数形结合思想的运用,即解答与坐标系有关问题时要多画草图,结合坐标系来解答问题,同时要关注点的坐标与距离的关系,点的坐标的平移、对称等相关性质的理解.
(1)如图1,求证：平面直角坐标系内任意两点$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})间的距离公式为AB= \sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}$.
(2)在平面直角坐标系中,若$\triangle ABC的三个顶点为A(1,2),B(5,5),C(4,-2)$,试判断$\triangle ABC$的形状.
(3)如图2,点$A(-3,3),B(1,5)$,点P是x轴上的动点,直接写出$AP+BP$的最小值.
临门一脚
平面直角坐标系这一章是学习函数的基础,学习这一章的重点是注意数形结合思想的运用,即解答与坐标系有关问题时要多画草图,结合坐标系来解答问题,同时要关注点的坐标与距离的关系,点的坐标的平移、对称等相关性质的理解.
答案：
(1)证明:如图1,过点A作AC//y轴,过点B作BC//x轴交AC于点C,所以点C(x₁,y₂),∠ACB=90°,所以AC=y₂ - y₁,BC=x₁ - x₂.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB=√(AC²+BC²)=√[(x₁ - x₂)²+(y₁ - y₂)²].
(2)解:因为点A(1,2),B(5,5),C(4,-2),所以AB²=(1 - 5)²+(2 - 5)²=25,AC²=(4 - 1)²+(-2 - 2)²=25,BC²=(4 - 5)²+(-2 - 5)²=50,所以AB=AC,AB²+AC²=BC²,所以△ABC是等腰直角三角形.
(3)AP+BP的最小值是4√5. 提示:如图2,作点A关于x轴的对称点C,连接CB交x轴于点P,连接AP,则点C(-3,-3).由轴对称的性质可得CP=AP,所以AP+BP=CP+BP.当C,P,B三点共线时,CP+BP的值最小,即此时AP+BP的值最小,最小值即为BC的长.因为点B(1,5),所以BC=√[(-3 - 1)²+(-3 - 5)²]=4√5.所以AP+BP的最小值为4√5.
(1)证明:如图1,过点A作AC//y轴,过点B作BC//x轴交AC于点C,所以点C(x₁,y₂),∠ACB=90°,所以AC=y₂ - y₁,BC=x₁ - x₂.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB=√(AC²+BC²)=√[(x₁ - x₂)²+(y₁ - y₂)²].
(2)解:因为点A(1,2),B(5,5),C(4,-2),所以AB²=(1 - 5)²+(2 - 5)²=25,AC²=(4 - 1)²+(-2 - 2)²=25,BC²=(4 - 5)²+(-2 - 5)²=50,所以AB=AC,AB²+AC²=BC²,所以△ABC是等腰直角三角形.
(3)AP+BP的最小值是4√5. 提示:如图2,作点A关于x轴的对称点C,连接CB交x轴于点P,连接AP,则点C(-3,-3).由轴对称的性质可得CP=AP,所以AP+BP=CP+BP.当C,P,B三点共线时,CP+BP的值最小,即此时AP+BP的值最小,最小值即为BC的长.因为点B(1,5),所以BC=√[(-3 - 1)²+(-3 - 5)²]=4√5.所以AP+BP的最小值为4√5.
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