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12. (扬州市仪征市期中)$a_1 = 1 + \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2},a_2 = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2},a_3 = 1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2},…,a_n = 1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n + 1)^2}$,其中$n$为正整数,则$\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} + \sqrt{a_3} + … + \sqrt{a_{2024}}$的值是
$2024\dfrac{2024}{2025}$
.
答案：
$2024\dfrac{2024}{2025}$
13. (徐州市期末)通过观察下表后再回答问题:
(1)表格中$x = $
(2)从表格中探究$a与\sqrt{a}$数位的规律,并利用这个规律解决下面两个问题:
①已知$\sqrt{10} \approx 3.16$,则$\sqrt{1000} \approx$
②已知$\sqrt{3.24} = 1.8$,若$\sqrt{a} = 180$,则$a = $
(3)已知$\sqrt[3]{12} \approx 2.289$,若$\sqrt[3]{z} = 0.2289$,则$z = $
(1)表格中$x = $
0.1
;$y = $10
.(2)从表格中探究$a与\sqrt{a}$数位的规律,并利用这个规律解决下面两个问题:
①已知$\sqrt{10} \approx 3.16$,则$\sqrt{1000} \approx$
31.6
.②已知$\sqrt{3.24} = 1.8$,若$\sqrt{a} = 180$,则$a = $
32400
.(3)已知$\sqrt[3]{12} \approx 2.289$,若$\sqrt[3]{z} = 0.2289$,则$z = $
0.012
.
答案：
解：（1）0.1 10（2）①31.6 ②32400（3）0.012
14. (常州市期末)已知$a,b$是有理数,$x$是无理数,如果$\frac{3ax^2 - 6ax - 2025x + 2 × 2025}{4bx^2 - 8bx + 2024x - 2 × 2024}$是有理数,求$\frac{a}{b}$的值.
临门一脚
实数这一章在考试中多以填空题、选择题为主,难度一般不大.学习这一章内容时,要关注平方根性质的理解和运用,要注意正数的平方根有两个,负数没有平方根.同时要注意无理数的识别,将无理数与分数区分开来,例如:$\frac{\sqrt{2}}{2}$是无理数,不是分数.最后还要关注数形结合思想的运用.
临门一脚
实数这一章在考试中多以填空题、选择题为主,难度一般不大.学习这一章内容时,要关注平方根性质的理解和运用,要注意正数的平方根有两个,负数没有平方根.同时要注意无理数的识别,将无理数与分数区分开来,例如:$\frac{\sqrt{2}}{2}$是无理数,不是分数.最后还要关注数形结合思想的运用.
答案：
解：原式$=\dfrac{3ax(x - 2)-2025(x - 2)}{4bx(x - 2)+2024(x - 2)}=\dfrac{(x - 2)(3ax - 2025)}{(x - 2)(4bx + 2024)}$.因为$x$是无理数，所以$x - 2\neq0$，所以原式$=\dfrac{3ax - 2025}{4bx + 2024}$.因为$\dfrac{3ax - 2025}{4bx + 2024}$是有理数，设$\dfrac{3ax - 2025}{4bx + 2024}=m$，则$4bxm + 2024m=3ax - 2025$.整理，得$3a - 4bm=\dfrac{2024m + 2025}{x}$.因为$m$，$a$，$b$是有理数，$x$是无理数，所以$\begin{cases}2024m + 2025=0,\\3a - 4bm=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-\dfrac{2025}{2024},\\\dfrac{a}{b}=-\dfrac{675}{506}.\end{cases}$
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