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2025年世超金典暑假乐园暑假八年级数学人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年世超金典暑假乐园暑假八年级数学人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
5. 化简：$\frac{a+\sqrt{a b}}{\sqrt{a}}+\frac{b-\sqrt{a b}}{\sqrt{b}}= $____
$2\sqrt{6}$
.
答案：
1. 首先，对$\frac{a + \sqrt{ab}}{\sqrt{a}}$进行化简：
根据分式的性质$\frac{m + n}{p}=\frac{m}{p}+\frac{n}{p}(p\neq0)$，则$\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}}=\frac{a}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}}$。
由$\frac{a}{\sqrt{a}}=\sqrt{a}$（因为$\frac{a}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}}{\sqrt{a}}$，$a\gt0$时，约分可得$\sqrt{a}$），$\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}}=\sqrt{\frac{ab}{a}}=\sqrt{b}$（根据$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}=\sqrt{\frac{m}{n}}(m\geq0,n ＞ 0)$）。
2. 然后，对$\frac{b-\sqrt{ab}}{\sqrt{b}}$进行化简：
同样根据分式的性质$\frac{m - n}{p}=\frac{m}{p}-\frac{n}{p}(p\neq0)$，则$\frac{b - \sqrt{ab}}{\sqrt{b}}=\frac{b}{\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b}}$。
因为$\frac{b}{\sqrt{b}}=\sqrt{b}$（$\frac{b}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}}{\sqrt{b}}$，$b\gt0$时，约分可得$\sqrt{b}$），$\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{ab}{b}}=\sqrt{a}$（根据$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}=\sqrt{\frac{m}{n}}(m\geq0,n ＞ 0)$）。
3. 最后，将化简后的式子相加：
$\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}}+\frac{b - \sqrt{ab}}{\sqrt{b}}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})+(\sqrt{b}-\sqrt{a})$。
去括号得$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{b}-\sqrt{a}$。
合并同类二次根式：$(\sqrt{a}-\sqrt{a})+(\sqrt{b}+\sqrt{b}) = 2\sqrt{b}$。
所以$\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}}+\frac{b - \sqrt{ab}}{\sqrt{b}}=2\sqrt{b}$。
根据分式的性质$\frac{m + n}{p}=\frac{m}{p}+\frac{n}{p}(p\neq0)$，则$\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}}=\frac{a}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}}$。
由$\frac{a}{\sqrt{a}}=\sqrt{a}$（因为$\frac{a}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}}{\sqrt{a}}$，$a\gt0$时，约分可得$\sqrt{a}$），$\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a}}=\sqrt{\frac{ab}{a}}=\sqrt{b}$（根据$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}=\sqrt{\frac{m}{n}}(m\geq0,n ＞ 0)$）。
2. 然后，对$\frac{b-\sqrt{ab}}{\sqrt{b}}$进行化简：
同样根据分式的性质$\frac{m - n}{p}=\frac{m}{p}-\frac{n}{p}(p\neq0)$，则$\frac{b - \sqrt{ab}}{\sqrt{b}}=\frac{b}{\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b}}$。
因为$\frac{b}{\sqrt{b}}=\sqrt{b}$（$\frac{b}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}}{\sqrt{b}}$，$b\gt0$时，约分可得$\sqrt{b}$），$\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{ab}{b}}=\sqrt{a}$（根据$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}=\sqrt{\frac{m}{n}}(m\geq0,n ＞ 0)$）。
3. 最后，将化简后的式子相加：
$\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}}+\frac{b - \sqrt{ab}}{\sqrt{b}}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})+(\sqrt{b}-\sqrt{a})$。
去括号得$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{b}-\sqrt{a}$。
合并同类二次根式：$(\sqrt{a}-\sqrt{a})+(\sqrt{b}+\sqrt{b}) = 2\sqrt{b}$。
所以$\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}}+\frac{b - \sqrt{ab}}{\sqrt{b}}=2\sqrt{b}$。
1. 下列二次根式中哪些是最简二次根式？为什么？
$\sqrt{3a^{2}b}$，$\sqrt{\frac{3ab}{2}}$，$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$，$\sqrt{a - b}(a\gt b)$，$\sqrt{5}$，$\sqrt{8xy}$
最简二次根式是
$\sqrt{3a^{2}b}$，$\sqrt{\frac{3ab}{2}}$，$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$，$\sqrt{a - b}(a\gt b)$，$\sqrt{5}$，$\sqrt{8xy}$
最简二次根式是
$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$，$\sqrt{a - b}(a\gt b)$，$\sqrt{5}$
；因为它们满足最简二次根式的定义，即被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数的因数是整数，因式是整式。
答案：
1. 首先明确最简二次根式的定义：
最简二次根式需满足被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式。
2. 然后分析各个二次根式：
对于$\sqrt{3a^{2}b}$：
根据$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}(a\geq0,b\geq0)$，$\sqrt{3a^{2}b}=\vert a\vert\sqrt{3b}$（$a$的平方可以开方），所以$\sqrt{3a^{2}b}$不是最简二次根式。
对于$\sqrt{\frac{3ab}{2}}$：
被开方数$\frac{3ab}{2}$是分数，不满足最简二次根式被开方数的因数是整数，因式是整式的条件，可化为$\frac{\sqrt{6ab}}{2}$，所以$\sqrt{\frac{3ab}{2}}$不是最简二次根式。
对于$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$：
被开方数$x^{2}+y^{2}$不能分解成一个数的平方与另一个因式的乘积形式（不含能开得尽方的因数或因式），且被开方数是整式，所以$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$是最简二次根式。
对于$\sqrt{a - b}(a\gt b)$：
被开方数$a - b$（$a\gt b$），不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数是整式，所以$\sqrt{a - b}(a\gt b)$是最简二次根式。
对于$\sqrt{5}$：
被开方数$5$是整数，且不含能开得尽方的因数（$5 = 5×1$），所以$\sqrt{5}$是最简二次根式。
对于$\sqrt{8xy}$：
因为$8xy=4×2xy$，$\sqrt{8xy}=\sqrt{4×2xy}=2\sqrt{2xy}$（$4$可以开方），所以$\sqrt{8xy}$不是最简二次根式。
综上，$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$，$\sqrt{a - b}(a\gt b)$，$\sqrt{5}$是最简二次根式；原因是它们满足最简二次根式的定义，即被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数的因数是整数，因式是整式；而$\sqrt{3a^{2}b}$，$\sqrt{\frac{3ab}{2}}$，$\sqrt{8xy}$不满足最简二次根式的定义。
最简二次根式需满足被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式。
2. 然后分析各个二次根式：
对于$\sqrt{3a^{2}b}$：
根据$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}(a\geq0,b\geq0)$，$\sqrt{3a^{2}b}=\vert a\vert\sqrt{3b}$（$a$的平方可以开方），所以$\sqrt{3a^{2}b}$不是最简二次根式。
对于$\sqrt{\frac{3ab}{2}}$：
被开方数$\frac{3ab}{2}$是分数，不满足最简二次根式被开方数的因数是整数，因式是整式的条件，可化为$\frac{\sqrt{6ab}}{2}$，所以$\sqrt{\frac{3ab}{2}}$不是最简二次根式。
对于$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$：
被开方数$x^{2}+y^{2}$不能分解成一个数的平方与另一个因式的乘积形式（不含能开得尽方的因数或因式），且被开方数是整式，所以$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$是最简二次根式。
对于$\sqrt{a - b}(a\gt b)$：
被开方数$a - b$（$a\gt b$），不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数是整式，所以$\sqrt{a - b}(a\gt b)$是最简二次根式。
对于$\sqrt{5}$：
被开方数$5$是整数，且不含能开得尽方的因数（$5 = 5×1$），所以$\sqrt{5}$是最简二次根式。
对于$\sqrt{8xy}$：
因为$8xy=4×2xy$，$\sqrt{8xy}=\sqrt{4×2xy}=2\sqrt{2xy}$（$4$可以开方），所以$\sqrt{8xy}$不是最简二次根式。
综上，$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$，$\sqrt{a - b}(a\gt b)$，$\sqrt{5}$是最简二次根式；原因是它们满足最简二次根式的定义，即被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数的因数是整数，因式是整式；而$\sqrt{3a^{2}b}$，$\sqrt{\frac{3ab}{2}}$，$\sqrt{8xy}$不满足最简二次根式的定义。
2. 已知 $a, b$ 是整数,如果 $\sqrt{\frac{1}{a} x^{2 b-5}}$ 是最简二次根式,求 $2 a \sqrt{5 b+1}$ 的值,并求 $2 a \sqrt{5 b+1}$ 的平方根.
答案：
解：根据题意，得$a = 1$，$2b - 5 = 1$.
$\therefore b = 3$. $\therefore 2a\sqrt{5b + 1} = 8$.
$\therefore 2a\sqrt{5b + 1}$的平方根是$\pm 2\sqrt{2}$.
$\therefore b = 3$. $\therefore 2a\sqrt{5b + 1} = 8$.
$\therefore 2a\sqrt{5b + 1}$的平方根是$\pm 2\sqrt{2}$.
3. 计算：$\sqrt{18}-\sqrt{\frac{9}{2}}+(\sqrt{3}-2)^{0}+\sqrt{(1-\sqrt{2})^{2}}$.
答案：
$\frac{5}{2}\sqrt{2}$
4. 已知 $a^{2}+b^{2}-4 a-2 b+5= 0$,求 $\frac{\sqrt{a}+b}{\sqrt{3 b}-\sqrt{a}}$ 的值.
答案：
解：由已知得$(a - 2)^{2} + (b - 1)^{2} = 0$.
$\therefore a = 2$，$b = 1$.
$\therefore \frac{\sqrt{a} + b}{\sqrt{3b} - \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6} + 2$.
$\therefore a = 2$，$b = 1$.
$\therefore \frac{\sqrt{a} + b}{\sqrt{3b} - \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6} + 2$.
四、趣味题
数独：使每行、每列和每个宫(即 $3 × 3$ 的大格)凑齐 $1 \sim 9$ 所有数字.
数独：使每行、每列和每个宫(即 $3 × 3$ 的大格)凑齐 $1 \sim 9$ 所有数字.
答案：
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