《2025年世超金典暑假乐园暑假八年级数学人教版》

2. 在平行四边形$ABCD$中,点$O是边AD$的中点,连接$CO并延长交BA的延长线于点E$,连接$ED$,$AC$。
(1)如图甲,求证：四边形$AEDC$是平行四边形。
(2)如图乙,若四边形$AEDC$是矩形,请探究$∠COD与∠B$的数量关系,写出你的探究结论,并加以证明。
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形，
　　　∴AB//CD.
　　　∴∠BEC=∠DCE.
　　　∵点O是边AD的中点，
　　　∴AO=DO.
　　　又∵∠AOE=∠DOC,
　　　∴△AEO≌△DCO(AAS).
　　　∴AE=CD.
　　　∴四边形AEDC是平行四边形.
(2)解:∠COD=180°−2∠B.
　　　证明如下:∵四边形ABCD是平行四边形，
　　　∴∠B=∠ADC.
　　　∵四边形AEDC是矩形，
　　　∴AO=EO=CO=DO.
　　　∴∠ADC=∠OCD.
　　　∵∠ADC+∠OCD+∠COD=180°,
　　　∴∠COD=180°−2∠ADC=180°−2∠B.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
　
∴AB//CD.
　
∴∠BEC=∠DCE.
　
∵点O是边AD的中点，
　
∴AO=DO.
　　　又
∵∠AOE=∠DOC,
　
∴△AEO≌△DCO(AAS).
　
∴AE=CD.
　
∴四边形AEDC是平行四边形.
(2)解:∠COD=180°−2∠B.
　　　证明如下:
∵四边形ABCD是平行四边形，
　
∴∠B=∠ADC.
　
∵四边形AEDC是矩形，
　
∴AO=EO=CO=DO.
　
∴∠ADC=∠OCD.
　
∵∠ADC+∠OCD+∠COD=180°,
　
∴∠COD=180°−2∠ADC=180°−2∠B.

3. 如图,过矩形$ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC$,交$BC边于点E$,交$AD边于点F$,分别连接$AE$,$CF$。
(1)求证：四边形$AECF$是菱形。
(2)若$AB= 3$,$∠DCF= 30^{\circ}$,求$EF$的长。

(1)证明:∵四边形ABCD是矩形，
　　　∴∠FAO=∠ECO,AO=CO.
　　　在△AOF与△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}\angle FAO = \angle ECO,\\AO = CO,\\\angle AOF = \angle COE\end{array}\right.$
　　　∴△AOF≌△COE(ASA).
　　　∴OF=OE.
　　　∴四边形AECF是平行四边形.
　　　∵EF⊥AC,
　　　∴四边形AECF是菱形.
　　　(2)解:∵∠DCF=30°,AB=CD=3,
　　　　　　　　　　　　　∴∠FCE=60°,CF²=($\frac{1}{2}$CF)²+3².
　　　　　　　　　　　　　∴CF=2√3.
　　　　　　　　　　　　　∵CF=CE,∴△EFC是等边三角形
　　　　　　　　　　　　　∴EF=2√3

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形，
　
∴∠FAO=∠ECO,AO=CO.
　　　在△AOF与△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}\angle FAO = \angle ECO,\\AO = CO,\\\angle AOF = \angle COE\end{array}\right.$
　
∴△AOF≌△COE(ASA).
　
∴OF=OE.
　
∴四边形AECF是平行四边形.
　
∵EF⊥AC,
　
∴四边形AECF是菱形.
(2)解:
∵∠DCF=30°,AB=CD=3,
　
　
　
　
　
　
∴∠FCE=60°,CF²=($\frac{1}{2}$CF)²+3².
　
　
　
　
　
　
∴CF=2√3.
　
　
　
　
　
　
∵CF=CE,
∴△EFC是等边三角形
　
　
　
　
　
　
∴EF=2$\sqrt{3}$

4. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ}$,$M是AB$的中点,$AM= AN$,$MN// AC$。
(1)求证：$MN= AC$。
(2)如果把条件“$AM= AN$”改为“$AM⊥AN$”,其他条件不变,那么$MN= AC$不一定成立。如果再改变一个条件,就能使$MN= AC$成立。请你写出改变的条件并说明理由。

(1)证明:连接CM,则AM=CM,∠MAC=∠MCA.又∵MN//AC,
　　　∴∠NMA=∠MAC.
　　　∴∠ANM=∠NMA=∠MAC=∠MCA.
　　　又∵AM为公共边,
　　　∴△AMN≌△MAC.∴MN=AC.
(2)解:改变的条件是AC=BC。
　　　理由:∵AC=BC,∠C=90°,∴∠CMA=90°.
　　　同理可证△AMN≌△MAC.∴MN=AC.

答案：
(1)证明:连接CM,则AM=CM,∠MAC=∠MCA.又
∵MN//AC,
　
∴∠NMA=∠MAC.
　
∴∠ANM=∠NMA=∠MAC=∠MCA.
　　　又
∵AM为公共边,
　
∴△AMN≌△MAC.
∴MN=AC.
(2)解:AC=BC.
　　　理由:
∵AC=BC,∠C=90°,
∴∠CMA=90°.
　　　同理可证△AMN≌△MAC.
∴MN=AC.

四、趣味题
在不能重复的情况下,你能一笔把下面的图形画出来吗？

能

答案： 【解析】：根据一笔画定理，判断一个图形能否一笔画成，关键在于数出图形中奇点（与奇数条边相连的点）的个数。此图形中奇点个数为$2$个。
【答案】：能。