《2025年世超金典暑假乐园暑假八年级数学人教版》

1. 已知$a = 2 - \sqrt { 3 }$,$b = \sqrt { 3 } + 2$,则$a$,$b$的关系为(C)

A.相等
B.互为相反数
C.互为倒数
D.互为负倒数

答案： C

2. 已知一次函数$y = kx + b$的图象如图所示,则$k$,$b$的符号是(D)

A.$k ＞ 0$,$b ＞ 0$
B.$k ＞ 0$,$b ＜ 0$
C.$k ＜ 0$,$b ＞ 0$
D.$k ＜ 0$,$b ＜ 0$

答案： D

3. 如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格,正六边形的顶点称为格点,若$\triangle ABC$的顶点都在格点上,$AB$边如图所示,则使$\triangle ABC是直角三角形的点C$有(B)


A.12个
B.10个
C.8个
D.6个

答案： B

4. 如图,在矩形纸片$ABCD$中,$AB = 8cm$,把矩形纸片沿直线$AC$折叠,点$B落在点E$处,$AE交DC于点F$,若$AF = \frac { 25 } { 4 } cm$,则$AD$的长为(C)


A.4cm
B.5cm
C.6cm
D.7cm

答案： C

1. 如图所示,已知点$A ( - 1,0 )和点B ( 1,2 )$,在$x轴上确定点P$,使$\triangle ABP$为直角三角形,则满足这样条件的点$P$的坐标是$(1,0)$或$(3,0)$.

答案： 1. 当$\angle A = 90^{\circ}$时：
因为$A(-1,0)$，$B(1,2)$，直线$AB$的斜率$k_{AB}=\frac{2 - 0}{1-(-1)} = 1$。
若$\angle A = 90^{\circ}$，则$AP\perp AB$，因为两垂直直线斜率之积为$-1$，直线$AP$垂直$x$轴，所以$P$点坐标为$(-1,0)$（舍去，与$A$点重合）。
2. 当$\angle B = 90^{\circ}$时：
设$P(x,0)$，根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$，$AB^{2}=(1 + 1)^{2}+(2 - 0)^{2}=4 + 4 = 8$，$BP^{2}=(x - 1)^{2}+(0 - 2)^{2}=x^{2}-2x + 1+4=x^{2}-2x + 5$，$AP^{2}=(x + 1)^{2}+(0 - 0)^{2}=x^{2}+2x + 1$。
由勾股定理$AB^{2}+BP^{2}=AP^{2}$（因为$\angle B = 90^{\circ}$），即$8+(x^{2}-2x + 5)=x^{2}+2x + 1$。
化简得：$8+x^{2}-2x + 5=x^{2}+2x + 1$。
移项：$x^{2}-x^{2}-2x-2x=1 - 8 - 5$。
合并同类项：$-4x=-12$，解得$x = 3$，此时$P(3,0)$。
3. 当$\angle P = 90^{\circ}$时：
设$P(x,0)$，则$k_{AP}=\frac{0 - 0}{x + 1}=0$（$x\neq - 1$），$k_{BP}=\frac{0 - 2}{x - 1}$。
因为$\angle P = 90^{\circ}$，所以$AP\perp BP$，则$k_{AP}\cdot k_{BP}=-1$（当$x\neq1$），又因为$k_{AP} = 0$，此时不成立；
另一种方法，由勾股定理$AP^{2}+BP^{2}=AB^{2}$，即$(x + 1)^{2}+(x - 1)^{2}+4 = 8$。
展开得$x^{2}+2x + 1+x^{2}-2x + 1+4 = 8$。
合并同类项：$2x^{2}+6 = 8$，$2x^{2}=2$，$x^{2}=1$，解得$x = 1$（此时$P(1,0)$，$AP = 2$，$BP = 2$，$AB=\sqrt{(1 + 1)^{2}+(2 - 0)^{2}}=2\sqrt{2}$，满足$AP^{2}+BP^{2}=AB^{2}$）。
所以满足条件的点$P$的坐标是$(1,0)$或$(3,0)$。

2. 八(2)班在一次期中考试中的数学成绩如下：得100分的2人,得90分的13人,得80分的16人,得70分的9人,得60分的3人,得50分的1人. 这次期中考试全班的平均数学成绩是80分(精确到1分).

答案： 80分

3. 如图所示,已知$□ ABCD的两条对角线AC与BD$交于平面直角坐标系的原点,点$A的坐标为( - 2,3 )$,则点$C$的坐标为$(2,-3)$.

答案： $(2,-3)$