《2025年世超金典暑假乐园暑假八年级数学人教版》

3. $\triangle ABC$ 与$□ DEFG$ 如右图放置,点 $D,G$ 分别在边 $AB,AC$ 上,点 $E,F$ 在边 $BC$ 上. 已知 $BE = DE,CF = FG$,则$\angle A$ 的度数为 (B)

A.$80^{\circ}$
B.$90^{\circ}$
C.$100^{\circ}$
D.$110^{\circ}$

答案： B

1. 如右图,在$□ ABCD$ 中,$AC$ 为对角线,已知点 $E,F$ 在 $AC$ 上,添加一个条件$AE = CF$（答案不唯一）,可使四边形 $BFDE$ 为平行四边形.

答案： $AE = CF$（答案不唯一）

2. 若$□ ABCD$ 的周长为 $60 cm$,两对角线相交于点 $O,\triangle AOB$ 的周长比$\triangle COB$ 的周长多 $8 cm$,则 $AB=$19 cm,$BC=$11 cm.

答案： 19 cm 11 cm

3. 如右图,在四边形 $ABCD$ 中,$AB = CD$,对角线 $AC,BD$ 相交于点 $O,AE\perp BD$ 于点 $E,CF\perp BD$ 于点 $F$,连接 $AF,CE$,若 $DE = BF$,则有下列结论:① $CF = AE$;② $OE = OF$;③四边形 $ABCD$ 是平行四边形;④图中共有四对全等三角形. 其中正确结论是______①②③(填序号).

答案： ①②③

1. 如图,$\angle MON= \angle PMO,OP = x - 3,OM = 4,ON = 3,MN = 5,MP = 11 - x$. 求证:四边形 $OPMN$ 是平行四边形.
证明：在$ \triangle MON $中，$ OM = 4 $，$ ON = 3 $，$ MN = 5 $，
$ \therefore OM^{2} + ON^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 25 $，$ MN^{2} = 5^{2} = 25 $。
$ \therefore OM^{2} + ON^{2} = MN^{2} $。$ \therefore \triangle MON $是直角三角形。
$ \therefore \angle MON = \angle PMO = 90^{\circ} $。
在$ \text{Rt} \triangle POM $中，$ OP = x - 3 $，$ OM = 4 $，$ MP = 11 - x $，
由勾股定理可得$OM^{2} + MP^{2} = OP^{2}$，
即$ 4^{2} + (11 - x)^{2} = (x - 3)^{2} $。解得$ x = $8。
$ \therefore OP = x - 3 = 8 - 3 = $5。$ MP = 11 - x = 11 - 8 = $3。
$ \therefore OP = MN $，$ MP = ON $。
$ \therefore $四边形$ OPMN $是平行四边形。

答案： 证明：在$ \triangle MON $中，$ OM = 4 $，$ ON = 3 $，$ MN = 5 $，
$ \therefore OM^{2} + ON^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 25 $，$ MN^{2} = 5^{2} = 25 $。
$ \therefore OM^{2} + ON^{2} = MN^{2} $。$ \therefore \triangle MON $是直角三角形。
$ \therefore \angle MON = \angle PMO = 90^{\circ} $。
在$ \text{Rt} \triangle POM $中，$ OP = x - 3 $，$ OM = 4 $，$ MP = 11 - x $，
由勾股定理可得$ OM^{2} + MP^{2} = OP^{2} $，
即$ 4^{2} + (11 - x)^{2} = (x - 3)^{2} $。解得$ x = 8 $。
$ \therefore OP = x - 3 = 8 - 3 = 5 $。$ MP = 11 - x = 11 - 8 = 3 $。
$ \therefore OP = MN $，$ MP = ON $。
$ \therefore $四边形$ OPMN $是平行四边形。

2. 已知:如图甲,$Rt\triangle ABC$ 中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,点 $D$ 是线段 $AC$ 的中点,连接 $BD$ 并延长至点 $E$,使 $BE = 2BD$. 连接 $AE,CE$.
(1) 求证:四边形 $ABCE$ 是平行四边形.
证明：$ \because $点$ D $是线段$ AC $的中点，$ BE = 2BD $，
$ \therefore AD = CD $，$ DE = BD $。
$ \therefore $四边形$ ABCE $是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
(2) 如图乙所示,将三角尺直角顶点 $M$ 放在 $AE$ 边上,两条直角边分别过点 $B$ 和点 $C$,若$\angle MEC= \angle EMC$,$BM$ 交 $AC$ 于点 $N$,求证:$\triangle ABN\cong\triangle MCN$.
证明：$ \because $四边形$ ABCE $是平行四边形，$ \therefore CE = AB $。
$ \because \angle MEC = \angle EMC $，$ \therefore CE = CM $（等角对等边）。$ \therefore CM = AB $。
易知$ \angle CMN = 90^{\circ} $，且$ \angle BAN = 90^{\circ} $。
在$ \triangle ABN $和$ \triangle MCN $中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle BAN = \angle CMN }, \\ { \angle ANB = \angle MNC }, \\ { AB = MC }. \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle ABN \cong \triangle MCN ( \text{AAS} ) $。

答案： 证明：（1）$ \because $点$ D $是线段$ AC $的中点，$ BE = 2BD $，
$ \therefore AD = CD $，$ DE = BD $。
$ \therefore $四边形$ ABCE $是平行四边形。
（2）$ \because $四边形$ ABCE $是平行四边形，$ \therefore CE = AB $。
$ \because \angle MEC = \angle EMC $，$ \therefore CE = CM $。$ \therefore CM = AB $。
易知$ \angle CMN = 90^{\circ} $，且$ \angle BAN = 90^{\circ} $。
在$ \triangle ABN $和$ \triangle MCN $中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle BAN = \angle CMN }, \\ { \angle ANB = \angle MNC }, \\ { AB = MC }. \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle ABN \cong \triangle MCN ( \text{AAS} ) $。