《2025年世超金典暑假乐园暑假八年级数学人教版》

4. 如图,$M$,$N$ 是正方形 $ABCD$ 的边 $CD$ 上的两个动点,满足 $AM = BN$,连接 $AC$ 交 $BN$ 于点 $E$,连接 $DE$ 交 $AM$ 于点 $F$,连接 $CF$。若正方形的边长为 $6$,则线段 $CF$ 的最小值是$ 3 \sqrt { 5 } - 3 $。

答案： $ 3 \sqrt { 5 } - 3 $

1. 如图,$O$ 为矩形 $ABCD$ 对角线的交点,过 $O$ 作 $EF \perp AC$ 分别交 $AD$,$BC$ 于点 $E$,$F$。若 $AB = 2\mathrm{cm}$,$BC = 4\mathrm{cm}$,求四边形 $AECF$ 的面积。

解：设 $ B F $ 的长为 $ x \mathrm { c m } $。
∵ 四边形 $ A B C D $ 为矩形，
∴ $ O A = O C $。
∵ $ E F \perp A C $，∴ $ \angle A O E = \angle C O F $。
∵ $ A E // C F $，∴ $ \angle E A O = \angle F C O $。
∴ $ \triangle A O E \cong \triangle C O F $。∴ $ O E = O F $。
∴ 四边形 $ A E C F $ 为平行四边形。又 $ E F \perp A C $，
∴ 四边形 $ A E C F $ 为菱形。
∴ $ A F = F C $。
又∵ $ A B = 2 \mathrm { c m } $，$ B C = 4 \mathrm { c m } $，
∴ $ 2 ^ { 2 } + x ^ { 2 } = ( 4 - x ) ^ { 2 } $。
∴ $ x = \frac { 3 } { 2 } $。
∴ $ F C = \frac { 5 } { 2 } \mathrm { c m } $。
∴ $ S _ { \text { 菱形 } A E C F } = \frac { 5 } { 2 } × 2 = 5 \left( \mathrm { c m } ^ { 2 } \right) $。

答案： 解：设 $ B F $ 的长为 $ x \mathrm { c m } $。
∵ 四边形 $ A B C D $ 为矩形，
∴ $ O A = O C $。
∵ $ E F \perp A C $，
∴ $ \angle A O E = \angle C O F $。
∵ $ A E // C F $，
∴ $ \angle E A O = \angle F C O $。
∴ $ \triangle A O E \cong \triangle C O F $。
∴ $ O E = O F $。
∴ 四边形 $ A E C F $ 为平行四边形。又 $ E F \perp A C $，
∴ 四边形 $ A E C F $ 为菱形。
∴ $ A F = F C $。
又
∵ $ A B = 2 \mathrm { c m } $，$ B C = 4 \mathrm { c m } $，
∴ $ 2 ^ { 2 } + x ^ { 2 } = ( 4 - x ) ^ { 2 } $。
∴ $ x = \frac { 3 } { 2 } $。
∴ $ F C = \frac { 5 } { 2 } \mathrm { c m } $。
∴ $ S _ { \text { 菱形 } A E C F } = \frac { 5 } { 2 } × 2 = 5 \left( \mathrm { c m } ^ { 2 } \right) $。

2. 如图,在菱形 $ABCD$ 中,过 $B$ 作 $BE \perp AD$ 于 $E$,$BF \perp CD$ 于 $F$。
求证：$AE = CF$。
证明：∵ 四边形 $ABCD$ 是菱形，
∴ $BA=BC$，$\angle A=\angle C$。
∵ $BE \perp AD$，$BF \perp CD$，
∴ $\angle BEA=\angle BFC=90^\circ$。
在 $\triangle ABE$ 与 $\triangle CBF$ 中，
$\left\{ \begin{array}{l} \angle BEA=\angle BFC=90^\circ, \\ \angle A=\angle C, \\ BA=BC, \end{array} \right.$
∴ $\triangle ABE \cong \triangle CBF$AAS。
∴ $AE=CF$。

答案： 证明：
∵ 四边形 $ A B C D $ 是菱形，
∴ $ B A = B C $，$ \angle A = \angle C $。
∵ $ B E \perp A D $，$ B F \perp C D $，
∴ $ \angle B E A = \angle B F C = 9 0 ^ { \circ } $。
在 $ \triangle A B E $ 与 $ \triangle C B F $ 中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle B E A = \angle B F C = 9 0 ^ { \circ } , } \\ { \angle A = \angle C , } \\ { B A = B C , } \end{array} \right. $
∴ $ \triangle A B E \cong \triangle C B F ( \mathrm { A A S } ) $。
∴ $ A E = C F $。

工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料,如图甲,使 $AB = CD$,$EF = GH$；
(2)摆放成如图乙所示的四边形,这时窗框的形状是平行四边形,根据的数学道理是两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(3)将直角尺靠窗框的一个角放置,如图丙,调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时,如图丁,说明窗框合格,这时窗框是矩形,根据的数学道理是有一个角是直角的平行四边形是矩形。

答案：
(2) 平行四边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
(3) 矩 有一个角是直角的平行四边形是矩形