《2025年世超金典暑假乐园暑假八年级数学人教版》

2. 已知函数 $ y = \frac { x - 1 } { x } $,若 $ y = 2 $,则 $ x = $-1.

答案： -1

3. 老师给出一个函数,甲、乙、丙三个同学各正确指出了这个函数的一个性质:
甲:函数的图象经过第一象限;
乙:函数的图象经过第三象限;
丙:在每个象限内,y 随 x 的增大而增大.
请你根据他们的叙述写出满足上述性质的一个函数:$ y = x + 1 $（答案不唯一）.

答案： 本题可根据反比例函数的性质来确定满足条件的函数。
步骤一：分析反比例函数的性质
反比例函数的一般形式为$y = \frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\neq0$）：
当$k\gt0$时，函数图象在第一、三象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小；
当$k\lt0$时，函数图象在第二、四象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
步骤二：根据已知条件确定函数
已知函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，结合反比例函数性质可知，此函数为反比例函数且$k\lt0$。
不妨取$k = - 1$，此时函数为$y = -\frac{1}{x}$。
对于$y = -\frac{1}{x}$，当$x\gt0$时，$y\lt0$，函数图象在第四象限；当$x\lt0$时，$y\gt0$，函数图象在第二象限，**不满足**甲、乙同学所说的函数图象经过第一、三象限，所以反比例函数不符合要求。
再考虑一次函数$y=kx+b$（$k$，$b$为常数，$k\neq0$）：
当$k\gt0$，$b\gt0$时，函数图象经过第一、二、三象限；
当$k\gt0$，$b\lt0$时，函数图象经过第一、三、四象限；
当$k\lt0$，$b\gt0$时，函数图象经过第一、二、四象限；
当$k\lt0$，$b\lt0$时，函数图象经过第二、三、四象限。
一次函数$y = x + 1$，其中$k = 1\gt0$，$b = 1\gt0$，函数图象经过第一、二、三象限，在定义域内$y$随$x$的增大而增大，满足甲、乙、丙三个同学所说的性质。
综上，答案可以为$\boldsymbol{y = x + 1}$（答案不唯一）。

4. 一水池的容积是 $ 90 m ^ { 3 } $,现有水 $ 10 m ^ { 3 } $,用水管以每小时 $ 5 m ^ { 3 } $ 的速度向水池中注水,直到注满为止,则水池水量 V(单位:$ m ^ { 3 } $)与注水时间 t(单位:h)之间的关系式为$ V = 10 + 5t $,自变量 t 的取值范围是$ 0 \leq t \leq 16 $.

答案： $ V = 10 + 5t $ $ 0 \leq t \leq 16 $

1. 已知直线 m 与直线 $ y = 2 x + 1 $ 的交点的横坐标为 2,与直线 $ y = - x + 2 $ 的交点的纵坐标为 1,求直线 m 的函数解析式.
解：把 $ x = 2 $ 代入 $ y = 2x + 1 $ 得 $ y = 5 $。
把 $ y = 1 $ 代入 $ y = -x + 2 $ 得 $ x = 1 $。
∴ 直线 $ m $ 过点 $ (2, 5) $ 和点 $ (1, 1) $。
设直线 $ m $ 的函数解析式为 $ y = kx + b $。
则 $ \begin{cases} 2k + b = 5, \\ k + b = 1. \end{cases} $
∴ $ k = 4 $，$ b = -3 $。
∴ 直线 $ m $ 的函数解析式为 $ y = $4x - 3。

答案： 解：把 $ x = 2 $ 代入 $ y = 2x + 1 $ 得 $ y = 5 $。
把 $ y = 1 $ 代入 $ y = -x + 2 $ 得 $ x = 1 $。
∴ 直线 $ m $ 过点 $ (2, 5) $ 和点 $ (1, 1) $。
设直线 $ m $ 的函数解析式为 $ y = kx + b $。
则 $ \begin{cases} 2k + b = 5, \\ k + b = 1. \end{cases} $
∴ $ k = 4 $，$ b = -3 $。
∴ 直线 $ m $ 的函数解析式为 $ y = 4x - 3 $。

2. 十一期间,小华约同学一起开车到距家 100 km 的景点旅游,出发前,汽车油箱内储油 35 L,当行驶 80 km 时,发现油箱余油量为 25 L(假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的).
(1)求该汽车平均每千米的耗油量,并写出行驶路程 x(单位:km)与剩余油量 Q(单位:L)的关系式.
(2)当 $ x = 60 km $ 时,求剩余油量 Q 的值.
(3)当油箱中剩余油量低于 3 L 时,汽车将自动报警. 如果往返途中不加油,他们能否在汽车报警前回到家? 请说明理由.

答案： 解：
(1) 该汽车平均每千米的耗油量为 $ (35 - 25) ÷ 80 = 0.125(L) $，
行驶路程 $ x $（单位：km）与剩余油量 $ Q $（单位：L）的关系式为 $ Q = 35 - 0.125x $。
(2) 当 $ x = 60km $ 时，
$ Q = 35 - 0.125 × 60 = 27.5(L) $。
(3) 能。$ (35 - 3) ÷ 0.125 = 256(km) $，
由 $ 256 ＞ 200 $ 知他们能在汽车报警前回到家。