《2025年世超金典暑假乐园暑假八年级数学人教版》

1. 在平面直角坐标系$xOy$中,直线$l:y = kx + 1 ( k \neq 0 )与直线x = k$,直线$y = - k分别交于点A$,$B$,直线$x = k与直线y = - k交于点C$.
(1)求直线$l与y$轴的交点坐标.
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点. 记线段$AB$,$BC$,$CA$围成的区域(不含边界)为$W$.
①当$k = 2$时,结合函数图象,求区域$W$内的整点个数；
②若区域$W$内没有整点,直接写出$k$的取值范围.

答案：
解:
(1)令$x=0$，解得$y=1$。
$\therefore$直线$y=kx+1(k\neq0)$与$y$轴的交点坐标为$(0,1)$。
(2)①当$k=2$时，三条直线分别为$y=2x+1$，$x=2$，$y=-2$。
$\therefore$点$A(2,5)$，$B(-\frac{3}{2},-2)$，$C(2,-2)$。
结合函数图象，可得区域$W$内的整点个数为6。

②$-1\leq k\lt0$或$k=-2$。

2. 如图,在$\triangle ABC$中,点$O是AC$边上一个动点,过点$O作直线MN // BC$,设$MN与\angle BCA的平分线交于点E$,与$\triangle BCA的外角平分线CF交于点F$.
(1)求证：$OE = OF$.
(2)若$CE = 12$,$CF = 5$,求$OC$的长.$\frac{13}{2}$
(3)连接$AE$,$AF$,当点$O在AC$边上运动到什么位置时,四边形$AECF$是矩形？请说明理由.$AC$中点

答案：
(1)证明:$\because CF$平分$\angle ACD$，且$MN// BD$，
$\therefore\angle ACF=\angle FCD=\angle CFO$。
$\therefore OF=OC$；
同理可证$OC=OE$。
$\therefore OE=OF$。
(2)解:由
(1)知$OF=OC=OE$。
$\therefore\angle OCF=\angle OFC$，$\angle OCE=\angle OEC$。
$\therefore\angle OCF+\angle OCE=\angle OFC+\angle OEC$。
而$\angle OCF+\angle OCE+\angle OFC+\angle OEC=180^{\circ}$，
$\therefore\angle ECF=\angle OCF+\angle OCE=90^{\circ}$。
$\therefore EF=\sqrt{CE^{2}+CF^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$。
$\therefore OC=\frac{1}{2}EF=\frac{13}{2}$。
(3)解:当点$O$运动到$AC$中点时，四边形$AECF$为矩形。
理由如下:
当点$O$运动到$AC$中点时，$OA=OC$且$OE=OF$，$\therefore$四边形$AECF$为平行四边形。
又$\because\angle ECF=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$AECF$为矩形。

3. 为了参加“某市中小学生首届诗词大会”,对某校八年级的两个班的学生进行了预选,其中班上前5名学生的成绩(百分制)分别为：八(1)班86,85,77,92,85；八(2)班79,85,92,85,89. 通过数据分析,列表如下：
|班级|平均分|中位数|众数|方差|
|八(1)班|85|$b$|$c$|22.8|
|八(2)班|$a$|85|85|19.2|
(1)写出表中$a$,$b$,$c$的值.
(2)根据以上数据分析,你认为哪个班前5名同学的成绩较好？请说明理由.

答案： 解:
(1)$a=\frac{79+85+92+85+89}{5}=86$，
$b=85$，$c=85$。
(2)$\because86\gt85$，且$19.2\lt22.8$，
$\therefore$八
(2)班前5名同学的成绩较好。