《2025年世超金典暑假乐园暑假八年级数学人教版》

1. 若A,B分别代表一个多项式,且$A+B= 2a^{2},A-B= 2ab$.
(1)求多项式A和B;$A = a^{2} + ab$，$B = a^{2} - ab$
(2)当$a= \sqrt {3}+1,b= \sqrt {3}-1$时,求分式$\frac {A}{B}$的值.$\sqrt{3}$

答案： 1. 解：
(1)将 $A + B = 2a^{2}$，$A - B = 2ab$ 组成方程组，得$\begin{cases}A + B = 2a^{2},① \\ A - B = 2ab.② \end{cases}$
① + ②，得 $2A = 2a^{2} + 2ab$，则 $A = a^{2} + ab$。
① - ②，得 $2B = 2a^{2} - 2ab$，则 $B = a^{2} - ab$。
(2) $ \frac{A}{B} = \frac{a^{2} + ab}{a^{2} - ab} = \frac{a(a + b)}{a(a - b)} = \frac{a + b}{a - b} $，
当 $a = \sqrt{3} + 1$，$b = \sqrt{3} - 1$ 时，
$ \frac{A}{B} = \frac{a + b}{a - b} = \frac{(\sqrt{3} + 1) + (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) - (\sqrt{3} - 1)} = \sqrt{3} $。

2. 如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,$EF⊥AB,OG// EF$.
(1)求证:四边形OEFG是矩形.
(2)若$AD= 10,EF= 4$,求OE和BG的长.OE=5，BG=2.

答案： 2.
(1)证明：
∵ 菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，
∴ $DO = BO$。
∵ $E$ 是 $AD$ 的中点，
∴ $EO // AB$。
∵ $EF // OG$，
∴ 四边形 $OEFG$ 是平行四边形。
∵ $EF \perp AB$，
∴ $ \angle EFB = 90^{\circ}$。
∴ 四边形 $OEFG$ 为矩形。
(2)解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是菱形，
∴ $AC \perp BD$，$AB = AD = 10$。
在 $ \text{Rt} \triangle AOD$ 中，$E$ 为 $AD$ 的中点，
∴ $AE = \frac{1}{2}AD = 5$，$OE = \frac{1}{2}AD = 5$。
∵ $EF = 4$，
∴ 在 $ \text{Rt} \triangle AFE$ 中，
$AF = \sqrt{AE^{2} - EF^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3$。
∵ 四边形 $OEFG$ 是矩形，
∴ $FG = EO = 5$。
∴ $BG = AB - AF - FG = 2$。

3. 某公司去年的广告宣传投资分别为电视广告8000万元,报纸广告4000万元,大型活动2000万元.今年该公司为了加大广告宣传力度,三项投资分别比去年增长了10%,5%,20%.该公司今年的广告宣传投资比去年增长的百分比是多少?

答案： 3. 解：$ \frac{8000 × 10\% + 4000 × 5\% + 2000 × 20\%}{8000 + 4000 + 2000} × 100\% = 10\%$，所以该公司今年的广告宣传投资比去年增长了 $10\%$。

四、趣味题
将下图分成形状、面积都相同的4份,使每份中各数之和相等.

答案：
四、