搜索
1. 计算：
(1)$(-x^{3})^{2}\cdot (x^{2}y^{3})\cdot [-(xy^{2})^{2}]$；
(2)$-(2ab^{2})^{3}\cdot (-2)^{5}\cdot [-(a^{2}b)^{2}]^{4}$.
(1)$(-x^{3})^{2}\cdot (x^{2}y^{3})\cdot [-(xy^{2})^{2}]$；
(2)$-(2ab^{2})^{3}\cdot (-2)^{5}\cdot [-(a^{2}b)^{2}]^{4}$.
答案：
【解析】：
(1)
首先，根据幂的乘方公式$(a^m)^n = a^{mn}$，计算$(-x^{3})^{2}$：
$(-x^{3})^{2}=(-1)^2×(x^{3})^{2}=x^{6}$；
然后，计算$(xy^{2})^{2}$，根据积的乘方公式$(ab)^n=a^n b^n$可得：
$(xy^{2})^{2}=x^{2}(y^{2})^{2}=x^{2}y^{4}$；
接着将原式化简为：
$(-x^{3})^{2}\cdot (x^{2}y^{3})\cdot [-(xy^{2})^{2}]=x^{6}\cdot(x^{2}y^{3})\cdot(-x^{2}y^{4})$；
再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加$a^m\cdot a^n=a^{m + n}$进行计算：
$x^{6}\cdot(x^{2}y^{3})\cdot(-x^{2}y^{4})=-x^{6 + 2+2}y^{3 + 4}=-x^{10}y^{7}$。
(2)
先根据积的乘方公式计算$(2ab^{2})^{3}$：
$(2ab^{2})^{3}=2^{3}a^{3}(b^{2})^{3}=8a^{3}b^{6}$；
再计算$[-(a^{2}b)^{2}]^{4}$：
先算$(a^{2}b)^{2}=(a^{2})^{2}b^{2}=a^{4}b^{2}$，则$[-(a^{2}b)^{2}]^{4}=(-1)^4×(a^{4}b^{2})^{4}=a^{16}b^{8}$；
然后将原式化简为：
$-(2ab^{2})^{3}\cdot (-2)^{5}\cdot [-(a^{2}b)^{2}]^{4}=-8a^{3}b^{6}\cdot(-32)\cdot a^{16}b^{8}$；
最后根据同底数幂相乘法则计算：
$-8a^{3}b^{6}\cdot(-32)\cdot a^{16}b^{8}=(-8)×(-32)a^{3 + 16}b^{6+8}=256a^{19}b^{14}$。
【答案】：
(1)$-x^{10}y^{7}$；
(2)$256a^{19}b^{14}$
(1)
首先，根据幂的乘方公式$(a^m)^n = a^{mn}$，计算$(-x^{3})^{2}$：
$(-x^{3})^{2}=(-1)^2×(x^{3})^{2}=x^{6}$；
然后，计算$(xy^{2})^{2}$，根据积的乘方公式$(ab)^n=a^n b^n$可得：
$(xy^{2})^{2}=x^{2}(y^{2})^{2}=x^{2}y^{4}$；
接着将原式化简为：
$(-x^{3})^{2}\cdot (x^{2}y^{3})\cdot [-(xy^{2})^{2}]=x^{6}\cdot(x^{2}y^{3})\cdot(-x^{2}y^{4})$；
再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加$a^m\cdot a^n=a^{m + n}$进行计算：
$x^{6}\cdot(x^{2}y^{3})\cdot(-x^{2}y^{4})=-x^{6 + 2+2}y^{3 + 4}=-x^{10}y^{7}$。
(2)
先根据积的乘方公式计算$(2ab^{2})^{3}$：
$(2ab^{2})^{3}=2^{3}a^{3}(b^{2})^{3}=8a^{3}b^{6}$；
再计算$[-(a^{2}b)^{2}]^{4}$：
先算$(a^{2}b)^{2}=(a^{2})^{2}b^{2}=a^{4}b^{2}$，则$[-(a^{2}b)^{2}]^{4}=(-1)^4×(a^{4}b^{2})^{4}=a^{16}b^{8}$；
然后将原式化简为：
$-(2ab^{2})^{3}\cdot (-2)^{5}\cdot [-(a^{2}b)^{2}]^{4}=-8a^{3}b^{6}\cdot(-32)\cdot a^{16}b^{8}$；
最后根据同底数幂相乘法则计算：
$-8a^{3}b^{6}\cdot(-32)\cdot a^{16}b^{8}=(-8)×(-32)a^{3 + 16}b^{6+8}=256a^{19}b^{14}$。
【答案】：
(1)$-x^{10}y^{7}$；
(2)$256a^{19}b^{14}$
2. 若$(a^{m+1}b^{n+2})\cdot (a^{2n-1}b^{2m})= a^{5}b^{5}$,求$m+n$的值.
答案：
【解析】：
本题可先根据同底数幂的乘法法则计算$(a^{m + 1}b^{n + 2})\cdot(a^{2n - 1}b^{2m})$，再根据等式两边相同字母的指数相等列出方程组，最后求解方程组得到$m$、$n$的值，进而求出$m + n$的值。
- **步骤一：根据同底数幂的乘法法则计算$(a^{m + 1}b^{n + 2})\cdot(a^{2n - 1}b^{2m})$。**
同底数幂的乘法法则为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m× a^n=a^{m+n}$（$m$、$n$为正整数）。
所以$(a^{m + 1}b^{n + 2})\cdot(a^{2n - 1}b^{2m})=a^{m + 1 + 2n - 1}b^{n + 2 + 2m}=a^{m + 2n}b^{2m + n + 2}$。
- **步骤二：根据等式两边相同字母的指数相等列出方程组。**
已知$(a^{m + 1}b^{n + 2})\cdot(a^{2n - 1}b^{2m}) = a^5b^5$，即$a^{m + 2n}b^{2m + n + 2}=a^5b^5$，那么可得方程组$\begin{cases}m + 2n = 5&(1)\\2m + n + 2 = 5&(2)\end{cases}$。
- **步骤三：解方程组$\begin{cases}m + 2n = 5&(1)\\2m + n + 2 = 5&(2)\end{cases}$。**
由$(2)$式可得$2m + n = 3$ $(3)$。
$(1)$式$m + 2n = 5$两边同时乘以$2$，得到$2m + 4n = 10$ $(4)$。
用$(4)$式减去$(3)$式消去$m$可得：
$\begin{aligned}(2m + 4n)-(2m + n)&=10 - 3\\2m + 4n - 2m - n&=7\\3n&=7\\n&=\frac{7}{3}\end{aligned}$
把$n = \frac{7}{3}$代入$(1)$式可得：
$\begin{aligned}m + 2×\frac{7}{3}&=5\\m + \frac{14}{3}&=5\\m&=5 - \frac{14}{3}\\m&=\frac{1}{3}\end{aligned}$
- **步骤四：计算$m + n$的值。**
把$m = \frac{1}{3}$，$n = \frac{7}{3}$代入$m + n$可得：
$m + n = \frac{1}{3} + \frac{7}{3} = \frac{8}{3}$。
【答案】：$\frac{8}{3}$
本题可先根据同底数幂的乘法法则计算$(a^{m + 1}b^{n + 2})\cdot(a^{2n - 1}b^{2m})$，再根据等式两边相同字母的指数相等列出方程组，最后求解方程组得到$m$、$n$的值，进而求出$m + n$的值。
- **步骤一：根据同底数幂的乘法法则计算$(a^{m + 1}b^{n + 2})\cdot(a^{2n - 1}b^{2m})$。**
同底数幂的乘法法则为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m× a^n=a^{m+n}$（$m$、$n$为正整数）。
所以$(a^{m + 1}b^{n + 2})\cdot(a^{2n - 1}b^{2m})=a^{m + 1 + 2n - 1}b^{n + 2 + 2m}=a^{m + 2n}b^{2m + n + 2}$。
- **步骤二：根据等式两边相同字母的指数相等列出方程组。**
已知$(a^{m + 1}b^{n + 2})\cdot(a^{2n - 1}b^{2m}) = a^5b^5$，即$a^{m + 2n}b^{2m + n + 2}=a^5b^5$，那么可得方程组$\begin{cases}m + 2n = 5&(1)\\2m + n + 2 = 5&(2)\end{cases}$。
- **步骤三：解方程组$\begin{cases}m + 2n = 5&(1)\\2m + n + 2 = 5&(2)\end{cases}$。**
由$(2)$式可得$2m + n = 3$ $(3)$。
$(1)$式$m + 2n = 5$两边同时乘以$2$，得到$2m + 4n = 10$ $(4)$。
用$(4)$式减去$(3)$式消去$m$可得：
$\begin{aligned}(2m + 4n)-(2m + n)&=10 - 3\\2m + 4n - 2m - n&=7\\3n&=7\\n&=\frac{7}{3}\end{aligned}$
把$n = \frac{7}{3}$代入$(1)$式可得：
$\begin{aligned}m + 2×\frac{7}{3}&=5\\m + \frac{14}{3}&=5\\m&=5 - \frac{14}{3}\\m&=\frac{1}{3}\end{aligned}$
- **步骤四：计算$m + n$的值。**
把$m = \frac{1}{3}$，$n = \frac{7}{3}$代入$m + n$可得：
$m + n = \frac{1}{3} + \frac{7}{3} = \frac{8}{3}$。
【答案】：$\frac{8}{3}$
3. 当$a= \frac {1}{4},b= 4$时,求代数式$a^{3}(-b^{3})^{2}+(-\frac {1}{2}ab^{2})^{3}$的值.
56
答案：
【解析】：
本题可先根据幂的运算法则对代数式进行化简，再将$a$、$b$的值代入化简后的式子进行计算。
- **步骤一：化简代数式$a^{3}(-b^{3})^{2}+(-\frac {1}{2}ab^{2})^{3}$。**
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，对$(-b^{3})^{2}$进行化简：
$(-b^{3})^{2}=(-1)^2×(b^{3})^{2}=b^{3×2}=b^6$
根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$，对$(-\frac {1}{2}ab^{2})^{3}$进行化简：
$(-\frac {1}{2}ab^{2})^{3}=(-\frac {1}{2})^3× a^3×(b^{2})^{3}=-\frac {1}{8}a^3b^{2×3}=-\frac {1}{8}a^3b^6$
将上述化简结果代入原式可得：
$a^{3}(-b^{3})^{2}+(-\frac {1}{2}ab^{2})^{3}=a^{3}b^6-\frac {1}{8}a^3b^6$
合并同类项：
$a^{3}b^6-\frac {1}{8}a^3b^6=(1 - \frac {1}{8})a^3b^6=\frac {7}{8}a^3b^6$
- **步骤二：将$a = \frac {1}{4}$，$b = 4$代入化简后的式子$\frac {7}{8}a^3b^6$进行计算。**
可将$b^6$变形为$(b^2)^3$，则原式可进一步转化为$\frac {7}{8}a^3(b^2)^3$，再根据积的乘方法则$a^nb^n=(ab)^n$，可得$\frac {7}{8}a^3(b^2)^3=\frac {7}{8}(ab^2)^3$。
将$a = \frac {1}{4}$，$b = 4$代入$\frac {7}{8}(ab^2)^3$可得：
$\frac {7}{8}×(\frac {1}{4}×4^2)^3=\frac {7}{8}×(4)^3=\frac {7}{8}×64 = 56$
【答案】：$56$
本题可先根据幂的运算法则对代数式进行化简，再将$a$、$b$的值代入化简后的式子进行计算。
- **步骤一：化简代数式$a^{3}(-b^{3})^{2}+(-\frac {1}{2}ab^{2})^{3}$。**
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，对$(-b^{3})^{2}$进行化简：
$(-b^{3})^{2}=(-1)^2×(b^{3})^{2}=b^{3×2}=b^6$
根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$，对$(-\frac {1}{2}ab^{2})^{3}$进行化简：
$(-\frac {1}{2}ab^{2})^{3}=(-\frac {1}{2})^3× a^3×(b^{2})^{3}=-\frac {1}{8}a^3b^{2×3}=-\frac {1}{8}a^3b^6$
将上述化简结果代入原式可得：
$a^{3}(-b^{3})^{2}+(-\frac {1}{2}ab^{2})^{3}=a^{3}b^6-\frac {1}{8}a^3b^6$
合并同类项：
$a^{3}b^6-\frac {1}{8}a^3b^6=(1 - \frac {1}{8})a^3b^6=\frac {7}{8}a^3b^6$
- **步骤二：将$a = \frac {1}{4}$，$b = 4$代入化简后的式子$\frac {7}{8}a^3b^6$进行计算。**
可将$b^6$变形为$(b^2)^3$，则原式可进一步转化为$\frac {7}{8}a^3(b^2)^3$，再根据积的乘方法则$a^nb^n=(ab)^n$，可得$\frac {7}{8}a^3(b^2)^3=\frac {7}{8}(ab^2)^3$。
将$a = \frac {1}{4}$，$b = 4$代入$\frac {7}{8}(ab^2)^3$可得：
$\frac {7}{8}×(\frac {1}{4}×4^2)^3=\frac {7}{8}×(4)^3=\frac {7}{8}×64 = 56$
【答案】：$56$
查看更多完整答案，请扫码查看
