《2025年新课堂假期生活暑假生活七年级数学北师大版北京教育出版社》

5. 先化简,再求值：$\frac{1}{2}ab^{2} - [\frac{1}{3}a^{2}b + \frac{1}{2}(ab^{2} - a^{2}b + 1) - \frac{1}{4}]$,其中$a$的倒数是它本身,$b$是最大的负整数。

答案： 【解析】：
本题可先对原式进行化简，再根据$a$、$b$的条件求出$a$、$b$的值，最后代入化简后的式子求值。
- **步骤一：化简原式**
对$\frac{1}{2}ab^{2} - [\frac{1}{3}a^{2}b + \frac{1}{2}(ab^{2} - a^{2}b + 1) - \frac{1}{4}]$去括号，根据去括号法则：括号前是“$+$”，把括号和它前面的“$+$”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“$-$”，把括号和它前面的“$-$”去掉后，原括号里各项的符号都要改变。
可得：
$\begin{aligned}&\frac{1}{2}ab^{2} - [\frac{1}{3}a^{2}b + \frac{1}{2}(ab^{2} - a^{2}b + 1) - \frac{1}{4}]\\=&\frac{1}{2}ab^{2} - (\frac{1}{3}a^{2}b + \frac{1}{2}ab^{2} - \frac{1}{2}a^{2}b + \frac{1}{2} - \frac{1}{4})\\=&\frac{1}{2}ab^{2} - (\frac{1}{3}a^{2}b + \frac{1}{2}ab^{2} - \frac{1}{2}a^{2}b + \frac{1}{4})\\=&\frac{1}{2}ab^{2} - \frac{1}{3}a^{2}b - \frac{1}{2}ab^{2} + \frac{1}{2}a^{2}b - \frac{1}{4}\end{aligned}$
然后合并同类项，同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。
可得：
$\begin{aligned}&\frac{1}{2}ab^{2} - \frac{1}{3}a^{2}b - \frac{1}{2}ab^{2} + \frac{1}{2}a^{2}b - \frac{1}{4}\\=&(\frac{1}{2}ab^{2} - \frac{1}{2}ab^{2}) + (-\frac{1}{3}a^{2}b + \frac{1}{2}a^{2}b) - \frac{1}{4}\\=&\frac{1}{6}a^{2}b - \frac{1}{4}\end{aligned}$
- **步骤二：求出$a$、$b$的值**
已知$a$的倒数是它本身，根据倒数的定义：乘积是$1$的两个数互为倒数，可知$a = \pm 1$。
又因为$b$是最大的负整数，所以$b = -1$。
- **步骤三：分情况代入求值**
当$a = 1$，$b = -1$时，代入$\frac{1}{6}a^{2}b - \frac{1}{4}$可得：
$\frac{1}{6}×1^{2}×(-1) - \frac{1}{4}=-\frac{1}{6} - \frac{1}{4}=-\frac{2}{12} - \frac{3}{12}=-\frac{5}{12}$
当$a = -1$，$b = -1$时，代入$\frac{1}{6}a^{2}b - \frac{1}{4}$可得：
$\frac{1}{6}×(-1)^{2}×(-1) - \frac{1}{4}=-\frac{1}{6} - \frac{1}{4}=-\frac{2}{12} - \frac{3}{12}=-\frac{5}{12}$
综上，原式化简后为$\frac{1}{6}a^{2}b - \frac{1}{4}$，值为$-\frac{5}{12}$。
【答案】：化简结果为$\frac{1}{6}a^{2}b - \frac{1}{4}$，值为$-\frac{5}{12}$