《2025年新课堂假期生活暑假生活七年级数学北师大版北京教育出版社》

4. 如果$x^{n + 1} \cdot x^{n - 1} = x^{8}$,则$n$的值为4。

答案： $4$

5. 已知$a^{2n} = 3$,则$\frac{1}{3}a^{6n} - 5 = $4。

答案： $4$

1. 已知$a + b = 3$,$ab = -12$,求下列各式的值。
$a^{2} + b^{2}=$33；$a^{2} - ab + b^{2}=$45；$(a - b)^{2}=$57。

答案： 【解析】：
1. 首先求$a^{2}+b^{2}$的值：
根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，可得$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$。
已知$a + b = 3$，$ab=-12$，将其代入上式可得：$a^{2}+b^{2}=3^{2}-2×(-12)=9 + 24 = 33$。
2. 然后求$a^{2}-ab + b^{2}$的值：
由前面已求得$a^{2}+b^{2}=33$，且$ab = - 12$，将其代入$a^{2}-ab + b^{2}$可得：$a^{2}-ab + b^{2}=(a^{2}+b^{2})-ab=33-(-12)=33 + 12 = 45$。
3. 最后求$(a - b)^{2}$的值：
根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，又因为$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$，所以$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}=(a + b)^{2}-2ab-2ab=(a + b)^{2}-4ab$。
把$a + b = 3$，$ab=-12$代入可得：$(a - b)^{2}=3^{2}-4×(-12)=9 + 48 = 57$。
【答案】：$33$；$45$；$57$

2. 计算：$(x - y)^{3} \cdot (y - x)^{2} \cdot (x - y)^{4}$。

答案： 【解析】：本题可先根据互为相反数的偶次幂相等将$(y - x)^{2}$进行变形，再根据同底数幂的乘法法则进行计算。
- **步骤一：将$(y - x)^{2}$变形为$(x - y)^{2}$**
因为$(y - x)^{2}=[-(x - y)]^{2}$，根据负数的偶次幂是正数，可得$[-(x - y)]^{2}=(x - y)^{2}$。
此时原式变为$(x - y)^{3} \cdot (x - y)^{2} \cdot (x - y)^{4}$。
- **步骤二：根据同底数幂的乘法法则计算**
同底数幂的乘法法则为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m\cdot a^n = a^{m + n}$（$m$、$n$为正整数）。
在$(x - y)^{3} \cdot (x - y)^{2} \cdot (x - y)^{4}$中，底数都是$(x - y)$，根据上述法则可得：
$(x - y)^{3} \cdot (x - y)^{2} \cdot (x - y)^{4}=(x - y)^{3 + 2 + 4}=(x - y)^{9}$
【答案】：$(x - y)^{9}$

3. 已知$3^{m} = 4$,$3^{n} = 16$,求$3^{m + n}$的值。64

答案： 【解析】：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的运算法则，即$a^m× a^n=a^{m + n}$（$a\neq0$，$m$、$n$为整数）。对于$3^{m + n}$，可以变形为$3^{m}×3^{n}$。已知$3^{m} = 4$，$3^{n} = 16$，将其代入$3^{m}×3^{n}$可得$4×16 = 64$。
【答案】：64

4. 月球距离地球大约$3.84 × 10^{5}km$,一架飞机的速度约为$8 × 10^{2}km/h$,如果乘坐此飞机飞行这么远的距离,大约需要多长时间？

答案： 解：$(3.84×10^{5})÷(8×10^{2})=$
$4.8×10^{2}(h).$
答：大约需要$4.8×10^{2}h.$