《2025年新课堂假期生活暑假生活七年级数学北师大版北京教育出版社》

2. 学校有一块菜地,如图,现计划从点D表示的位置($BD:DC= 2:1$)开始挖一条小水沟,希望水沟两边的菜地面积一样大. 有人说：若D是BC的中点,由D点笔直地挖向A点即可. 现在D不是BC的中点,问题无法解决. 请你解决这个问题.

 

解决方法是：取 $AB$ 的中点 $E$，过 $E$ 点作 $EF// AD$交 $AC$于 $F$，沿 $DF$ 挖水沟。

答案： 【解析】：
1. 首先取 $AB$ 的中点 $E$，连接 $AD$，$DE$。
设$\triangle ABC$的面积为$S$。
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），因为$BD:DC = 2:1$，所以$S_{\triangle ABD}=\frac{2}{3}S$，$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{3}S$。
又因为$E$是$AB$中点，所以$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}$（等底等高的三角形面积关系，$\triangle ADE$和$\triangle BDE$等底$AE = BE$，同高）。
则$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}S=\frac{1}{3}S$。
那么$S_{\triangle ADE}=S_{\triangle ACD}$。
所以过$E$点作$DF// AE$交$AC$于$F$，沿$DF$挖水沟，两边菜地面积一样大（因为$S_{\triangle ADE}=S_{\triangle ACD}$，通过平行线间的面积转换，$S_{四边形BDFE}=S_{\triangle DFC}$）。
【答案】：取 $AB$ 的中点 $E$，过 $E$ 点作 $DF// AE$交 $AC$于 $F$，沿 $DF$ 挖水沟。

3. 如图,要测量河两岸相对的A,B两点间的距离,可以在AB的垂线BF上取两点C,D,使$BC= CD$,再作出BF的垂线DE,使A,C,E在一条直线上,这时测量的DE的长就是AB的长. 为什么？

答案： 【解析】：
因为$AB\perp BF$，$DE\perp BF$，所以$\angle ABC=\angle EDC = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABC$和$\triangle EDC$中，$\angle ABC=\angle EDC$（已证），$BC = CD$（已知），$\angle ACB=\angle ECD$（对顶角相等）。
根据“角 - 边 - 角”（$ASA$）全等判定定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle EDC$。
因为全等三角形的对应边相等，所以$AB = DE$。
【答案】：
因为$\triangle ABC\cong\triangle EDC(ASA)$，所以$AB = DE$（全等三角形对应边相等）。