《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

3. (2025·广东东莞期中)[问题背景]
已知$\angle MON = 90^{\circ}$,点$A$,$B分别在OM$,$ON$上运动(不与点$O$重合).

[问题思考]

(1)如图(1),$AE$,$BE分别是\angle BAO和\angle ABO$的平分线,随着点$A$,点$B$的运动,$\angle AEB = $____.
(2)如图(2),若$BC是\angle ABN$的平分线,$BC的反向延长线与\angle OAB的平分线交于点D$.
①若$\angle BAO = 70^{\circ}$,则$\angle D = $____$^{\circ}$.
②随着点$A$,$B$的运动,$\angle D$的大小会变吗？如果不会,求$\angle D$的度数；如果会,请说明理由.
[问题拓展]
(3)在图(2)的基础上,如果$\angle MON = \alpha$,其余条件不变,随着点$A$,$B$的运动(如图(3)),$\angle D = $____. (用含$\alpha$的代数式表示)

答案：
(1)135°　[解析]
∵∠MON=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°.
∵AE，BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAO，∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE=$\frac{1}{2}$(∠BAO+∠ABO)=45°，
∴∠AEB=135°.
(2)①45　[解析]
∵∠AOB=90°，∠BAO=70°，
∴∠ABO=20°，∠ABN=160°.
∵BC是∠ABN的平分线，
∴∠OBD=∠CBN=$\frac{1}{2}$×160°=80°.
∵AD平分∠BAO，
∴∠DAB=35°，
∴∠D=180°−∠ABO−∠BAD−∠OBD=180°−80°−35°−20°=45°.
②∠D的度数不随A，B的移动而发生变化，理由如下：设∠BAD=x，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO=2x.
∵∠AOB=90°，
∴∠ABN=180°−∠ABO=∠AOB+∠BAO=90°+2x.
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC=45°+x.
∵∠ABC=∠D+∠BAD，
∴∠D=∠ABC−∠BAD=45°+x−x=45°.
(3)$\frac{1}{2}$α　[解析]设∠BAD=x，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO=2x.
∵∠AOB=α，
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=α+2x.
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC=$\frac{1}{2}$α+x.
∵∠ABC=∠D+∠BAD，
∴∠D=∠ABC−∠BAD=$\frac{1}{2}$α+x−x=$\frac{1}{2}$α.