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3. (2024·浙江宁波期末)[知识回顾]一般地,两数和的完全平方公式为:$(a+b)^{2}= a^{2}+2ab+b^{2}$,如果我们将$(a-b)^{2}写成[a+(-b)]^{2}$,就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式。过程如下:
$(a-b)^{2}= [a+(-b)]^{2}= a^{2}+2a\cdot (-b)+(-b)^{2}= a^{2}-2ab+b^{2}$。
[类比推理](1)已知两数的立方和公式为$a^{3}+b^{3}= (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$,请类比两数差的完全平方公式的推理过程,推导两数的立方差公式:$a^{3}-b^{3}= a^{3}+(-b)^{3}= $____。
[应用公式](2)①因式分解:$x^{4}+x$；
②因式分解:$x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}$。
[拓展提升](3)如图,将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形ABCD,设$S_{四边形ABCD}= S_{1},S_{四边形EFGH}= S_{2},S_{四边形MNPQ}= S_{3}$。若$S_{1}+S_{2}+S_{3}= 39$,则
①$S_{2}= $____；
②若该直角三角形的两条边长分别为a和b,且$S_{3}= 1$,请先将代数式$a^{3}+2a^{2}b+2ab^{2}+b^{3}$进行因式分解,然后求出代数式的值。
$(a-b)^{2}= [a+(-b)]^{2}= a^{2}+2a\cdot (-b)+(-b)^{2}= a^{2}-2ab+b^{2}$。
[类比推理](1)已知两数的立方和公式为$a^{3}+b^{3}= (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$,请类比两数差的完全平方公式的推理过程,推导两数的立方差公式:$a^{3}-b^{3}= a^{3}+(-b)^{3}= $____。
[应用公式](2)①因式分解:$x^{4}+x$；
②因式分解:$x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}$。
[拓展提升](3)如图,将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形ABCD,设$S_{四边形ABCD}= S_{1},S_{四边形EFGH}= S_{2},S_{四边形MNPQ}= S_{3}$。若$S_{1}+S_{2}+S_{3}= 39$,则
①$S_{2}= $____；
②若该直角三角形的两条边长分别为a和b,且$S_{3}= 1$,请先将代数式$a^{3}+2a^{2}b+2ab^{2}+b^{3}$进行因式分解,然后求出代数式的值。
答案：
3.
(1)(a-b)(a²+ab+b²)[解析]a³-b³=a³+(-b)³=[a+(-b)][a²-a·(-b)+(-b)²]=(a-b)(a²+ab+b²).
(2)①x⁴+x=x(x³+1)=x(x+1)(x²-x+1)；
②x³-3x²y+3xy²-y³=(x³-y³)-(3x²y-3xy²)
=(x-y)(x²+xy+y²)-3xy(x-y)
=(x-y)(x²+xy+y²-3xy)
=(x-y)(x²-2xy+y²)
=(x-y)³.
(3)①13[解析]设该直角三角形的面积为S₄,根据题意,可得S₁=S₂+4S₄,S₃=S₂-4S₄,则S₁+S₂+S₃=39=S₂+4S₄+S₂+S₂-4S₄=3S₂,因此,S₂=13.
②a³+2a²b+2ab²+b³=(a³+b³)+(2a²b+2ab²)=(a+b)(a²-ab+b²)+2ab(a+b)=(a+b)(a²-ab+b²+2ab)=(a+b)(a²+ab+b²)，
S₃=1,则a-b=1，
S₁=39-S₂-S₃=25,则a+b=5，
解得a=3,b=2，
因此,a³+2a²b+2ab²+b³=(a+b)·(a²+ab+b²)=5×(3²+3×2+2²)=95.
(1)(a-b)(a²+ab+b²)[解析]a³-b³=a³+(-b)³=[a+(-b)][a²-a·(-b)+(-b)²]=(a-b)(a²+ab+b²).
(2)①x⁴+x=x(x³+1)=x(x+1)(x²-x+1)；
②x³-3x²y+3xy²-y³=(x³-y³)-(3x²y-3xy²)
=(x-y)(x²+xy+y²)-3xy(x-y)
=(x-y)(x²+xy+y²-3xy)
=(x-y)(x²-2xy+y²)
=(x-y)³.
(3)①13[解析]设该直角三角形的面积为S₄,根据题意,可得S₁=S₂+4S₄,S₃=S₂-4S₄,则S₁+S₂+S₃=39=S₂+4S₄+S₂+S₂-4S₄=3S₂,因此,S₂=13.
②a³+2a²b+2ab²+b³=(a³+b³)+(2a²b+2ab²)=(a+b)(a²-ab+b²)+2ab(a+b)=(a+b)(a²-ab+b²+2ab)=(a+b)(a²+ab+b²)，
S₃=1,则a-b=1，
S₁=39-S₂-S₃=25,则a+b=5，
解得a=3,b=2，
因此,a³+2a²b+2ab²+b³=(a+b)·(a²+ab+b²)=5×(3²+3×2+2²)=95.
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