《2025年实验班提优训练八年级数学上册人教版》

例 1 (2025·上海虹口区月考改编)定义一种幂的新运算：$$ x ^ { a } \oplus x ^ { b } = x ^ { a b } + x ^ { a + b } $$,请利用这种运算规则解决下列问题.
(1)求 $$ 2 ^ { 2 } \oplus 2 ^ { 3 } $$ 的值.
(2)$$ 2 ^ { p } = 3 $$,$$ 2 ^ { q } = 5 $$,$$ 3 ^ { q } = 6 $$,求 $$ 2 ^ { p } \oplus 2 ^ { q } $$ 的值.
(3)若运算 $$ 9 \oplus 3 ^ { 2 t } $$ 的结果为 810,则 t 的值是多少?
名师启发 (1)根据新定义的运算,把相应的值代入运算即可；
(2)根据新定义的运算,结合幂的乘方的法则以及同底数幂的乘法的逆用进行运算即可；
(3)根据新定义的运算,结合幂的乘方与积的乘方的法则进行运算即可.
方法技巧
解决幂的运算相关问题的关键往往隐藏在幂或指数之间的倍数关系中.

答案：
(1)$2^{2}\oplus 2^{3}=2^{2×3}+2^{2+3}=2^{6}+2^{5}=64+32=96$.
(2)当$2^{p}=3,2^{q}=5,3^{q}=6$时，$2^{p}\oplus 2^{q}=2^{pq}+2^{p+q}=(2^{p})^{q}+2^{p}×2^{q}=3^{q}+3×5=6+15=21$.
(3)$\because 9\oplus 9^{t}=810,\therefore 9^{t}+9^{1+t}=810,9^{t}+9×9^{t}=810,10×9^{t}=810,9^{t}=81,9^{t}=9^{2},\therefore t=2.$

例 2 为了更好地开展劳动教育,某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造,已知该地块是长为$$ ( a + 4 b ) $$米,宽为$$ ( a + 3 b ) $$米的长方形地块,学校准备在该地块内修一条平行四边形小路,小路的底边宽为 a 米,并计划将阴影部分改造为种植区.
(1)用含有 a,b 的式子分别表示出小路面积$$ S _ { 1 } $和种植区的总面积$ S _ { 2 } $$；

(2)若$$ a = 2 $$,$$ b = 4 $$,求出此时种植区的总面积$$ S _ { 2 } $$.
名师启发 (1)根据平行四边形和长方形的面积计算公式列出算式即可；
(2)把$$ a = 2 $$,$$ b = 4 $代入种植区的总面积$ S _ { 2 } $$进行计算即可.

答案：
(1)$S_{1}=a(a+4b)=(a^{2}+4ab)$平方米，$S_{2}=(a+3b-a)(a+4b)=3b(a+4b)=(3ab+12b^{2})$平方米.
(2)当$a=2,b=4$时，$S_{2}=3×2×4+12×4^{2}=3×2×4+12×16=24+192=216$(平方米)，故此时种植区的总面积$S_{2}$为216平方米.